ملخص متباينات الدرجة الثانية في مجهول واحد — أولى ثانوي

مقدمة

الوحدة الأولى: الجبر والعلاقات والدوال — البند 1-5

درست من قبل حل متباينة الدرجة الأولى مثل $2x - 6 > 0$ ، وعرفت أن حلها ليس عددًا واحدًا بل مجموعة من الأعداد تُكتب على صورة فترة. في هذا الدرس نحل متباينات مثل $x^2 - x - 2 > 0$ مستخدمين ما تعلمته في درس إشارة الدالة.

أهداف التعلم

أن تتعرف على المتباينة التربيعية والدالة المرتبطة بها.
أن تحل المتباينة التربيعية في مجهول واحد بخطوات منظمة.
أن تمثل مجموعة الحل على خط الأعداد وتكتبها بالفترات.
أن تتعامل مع الحالات الخاصة التي يكون فيها المميز صفرًا أو سالبًا.

شرح الدرس

المتباينة التربيعية والدالة المرتبطة بها

المتباينة التربيعية في مجهول واحد هي متباينة يمكن كتابتها على إحدى الصور:

ax^2 + bx + c > 0 \quad,\quad ax^2 + bx + c < 0 \quad,\quad ax^2 + bx + c \geq 0 \quad,\quad ax^2 + bx + c \leq 0

حيث $a \neq 0$ . والدالة $f(x) = ax^2 + bx + c$ تسمى الدالة التربيعية المرتبطة بالمتباينة. فحل المتباينة $f(x) > 0$ هو ببساطة مجموعة قيم $x$ التي تكون عندها الدالة موجبة.

خطوات حل المتباينة التربيعية

اجعل أحد طرفي المتباينة صفرًا، واكتب الدالة المرتبطة $f(x)$ .
ابحث إشارة الدالة: أوجد جذري $f(x) = 0$ (بالتحليل أو بالقانون العام) ومثّل الإشارة على خط الأعداد.
حدد الفترات التي تحقق المتباينة واكتب مجموعة الحل.

متى نُدخل الجذرين في الحل؟

في المتباينة التامة ( $>$ أو $<$ ) لا ندخل الجذرين، لأن الدالة عندهما تساوي صفرًا وليس موجبة أو سالبة.
في المتباينة غير التامة ( $\geq$ أو $\leq$ ) ندخل الجذرين في الحل.

صور مجموعة الحل

إذا كان $a > 0$ وللدالة جذران $L < M$ :

المتباينة	مجموعة الحل
$f(x) > 0$	$\mathbb{R} - [L, M]$
$f(x) \geq 0$	$\mathbb{R} - (L, M)$
$f(x) < 0$	$(L, M)$
$f(x) \leq 0$	$[L, M]$

ويمكن كتابة $\mathbb{R} - [L, M]$ أيضًا على صورة اتحاد فترتين: $(-\infty, L) \cup (M, \infty)$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: حل المتباينة $x^2 - 5x - 6 > 0$ .

الدالة المرتبطة: $f(x) = x^2 - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1)$ ، وجذراها $-1$ و $6$ .
$a = 1 > 0$ ، فالدالة موجبة خارج الجذرين وسالبة بينهما.
المطلوب: الدالة موجبة، والمتباينة تامة.

مجموعة الحل: $\mathbb{R} - [-1, 6]$ ، أو $(-\infty, -1) \cup (6, \infty)$ .

مثال 2: حل المتباينة $x^2 + 2x - 8 \leq 0$ .

$f(x) = (x + 4)(x - 2)$ ، وجذراها $-4$ و $2$ . الدالة سالبة بين الجذرين، والمتباينة غير تامة فندخل الجذرين: مجموعة الحل $[-4, 2]$ .

مثال 3: حل المتباينة $2x^2 < 3x + 2$ .

نجعل الطرف الأيمن صفرًا: $2x^2 - 3x - 2 < 0$ ، أي $(2x + 1)(x - 2) < 0$ . الجذران $-\frac{1}{2}$ و $2$ ، والدالة سالبة بينهما: مجموعة الحل $\left(-\frac{1}{2}, 2\right)$ .

مثال 4: حل المتباينة $x^2 + x + 12 > 0$ .

المميز $= 1 - 48 = -47 < 0$ ، و $a > 0$ ، إذن الدالة موجبة لكل $x$ : مجموعة الحل $\mathbb{R}$ .

مثال 5: حل المتباينة $x^2 - 6x + 9 \leq 0$ .

$f(x) = (x - 3)^2$ لا تكون سالبة أبدًا، وتساوي صفرًا عند $x = 3$ فقط؛ إذن مجموعة الحل $\{3\}$ .

مثال 6: حل المتباينة $-x^2 + 4x - 5 > 0$ .

المميز $= 16 - 20 = -4 < 0$ و $a = -1 < 0$ ، فالدالة سالبة دائمًا: مجموعة الحل $\varnothing$ .

ملاحظات مهمة

إذا ضربت طرفي المتباينة في عدد سالب (مثل $-1$ ) فاعكس علامة التباين: $-x^2 + 9 > 0$ تكافئ $x^2 - 9 < 0$ .
لا تقسم طرفي المتباينة على مقدار يحتوي $x$ ، لأنك لا تعرف إشارته.
على خط الأعداد نرسم دائرة مفرغة عند الجذر غير الداخل في الحل، ودائرة مظللة عند الجذر الداخل فيه.
في الكتاب المدرسي تُكتب الفترة المفتوحة $(-1, 6)$ بالصورة ]−1، 6[، ويُرمز لمجموعة الأعداد الحقيقية بالرمز ح، وللمجموعة الخالية بالرمز ∅.

المفاهيم الأساسية

حل المتباينة التربيعية = بحث إشارة الدالة المرتبطة بها ثم اختيار الفترات المناسبة.
المتباينة التامة لا تتضمن الجذرين، وغير التامة تتضمنهما.
إذا كان المميز سالبًا فالحل $\mathbb{R}$ أو $\varnothing$ حسب إشارة $a$ واتجاه المتباينة.
إذا كان المميز صفرًا فقد يكون الحل $\mathbb{R}$ أو $\mathbb{R} - \{L\}$ أو $\{L\}$ أو $\varnothing$ .

ملخص الدرس

نحل المتباينة التربيعية بثلاث خطوات: نجعل أحد طرفيها صفرًا، ثم نبحث إشارة الدالة المرتبطة بها بمعرفة جذريها وإشارة $a$ ، ثم نختار الفترات التي تحقق المطلوب مع الانتباه لإدخال الجذرين أو استبعادهما. وتكتب مجموعة الحل على صورة فترة أو اتحاد فترات أو مجموعة خاصة مثل $\mathbb{R}$ و $\varnothing$ .

أسئلة للتدريب

حل المتباينة $x^2 + 2x - 8 > 0$ .
حل المتباينة $x^2 - 16 \leq 0$ ، ومثّل الحل على خط الأعداد.
حل المتباينة $x(x - 3) < 10$ .
حل المتباينة $x^2 + x + 12 < 0$ .
حل المتباينة $4x^2 - 4x + 1 > 0$ .