ملخص مقدمة عن الأعداد المركبة — أولى ثانوي

مقدمة

الوحدة: الوحدة 1
عنوان الوحدة: الجبر والعلاقات والدوال — البند 1-1

تعرفت من قبل على الأعداد الطبيعية ثم الصحيحة ثم النسبية ثم الحقيقية، وكان كل نظام جديد يظهر ليحل معادلات لم يستطع النظام السابق حلها. فالمعادلة $x^2 + 1 = 0$ مثلًا تعني $x^2 = -1$ ، ولا يوجد عدد حقيقي مربعه سالب؛ لذلك لا يقطع منحنى الدالة $y = x^2 + 1$ محور السينات أبدًا. في هذا الدرس نتعرف على نظام أوسع هو الأعداد المركبة الذي يجعل لمثل هذه المعادلات حلولًا.

أهداف التعلم

أن تعرّف العدد التخيلي $i$ وتحسب أي قوة صحيحة له.
أن تكتب العدد المركب على الصورة $a + bi$ وتحدد جزأيه الحقيقي والتخيلي.
أن تستخدم تساوي عددين مركبين لإيجاد قيم مجهولة.
أن تجري عمليات الجمع والطرح والضرب على الأعداد المركبة.
أن تستخدم العدد المرافق لقسمة عددين مركبين وكتابة الناتج في أبسط صورة.

شرح الدرس

العدد التخيلي

يُعرَّف العدد التخيلي $i$ بأنه العدد الذي مربعه يساوي $-1$ ، أي أن:

i^2 = -1

وبذلك يمكن كتابة الجذر التربيعي لأي عدد سالب بدلالة $i$ : إذا كان $a > 0$ فإن $\sqrt{-a} = \sqrt{a}\, i$ . مثلًا: $\sqrt{-9} = 3i$ ، و $\sqrt{-5} = \sqrt{5}\, i$ . وتُسمى الأعداد التي على الصورة $bi$ حيث $b$ عدد حقيقي لا يساوي صفرًا أعدادًا تخيلية.

قوى العدد التخيلي $i$

العدد $i$ يخضع لقوانين الأسس نفسها التي درستها، فنجد:

القوة	$i^1$	$i^2$	$i^3$	$i^4$
القيمة	$i$	$-1$	$-i$	$1$

ثم تتكرر القيم كل أربع قوى، لأن $i^4 = 1$ . وبوجه عام، إذا كان $n$ عددًا صحيحًا فإن:

i^{4n} = 1,\quad i^{4n+1} = i,\quad i^{4n+2} = -1,\quad i^{4n+3} = -i

طريقة الحساب: نقسم الأس على 4، والباقي هو الذي يحدد القيمة. فمثلًا $i^{30}$ : الباقي عند قسمة 30 على 4 هو 2، إذن $i^{30} = i^2 = -1$ .

الأس السالب: نضيف إلى الأس مضاعفًا مناسبًا للعدد 4 حتى يصبح موجبًا (لأن الضرب في $i^4 = 1$ لا يغير القيمة). مثلًا: $i^{-13} = i^{-13} \times i^{16} = i^{3} = -i$ .

العدد المركب

العدد المركب هو كل عدد يمكن كتابته على الصورة:

z = a + bi

حيث $a$ و $b$ عددان حقيقيان. يسمى $a$ الجزء الحقيقي، ويسمى $b$ الجزء التخيلي.

إذا كان $b = 0$ كان العدد حقيقيًّا، مثل $z = 7$ .
إذا كان $a = 0$ و $b \neq 0$ كان العدد تخيليًّا، مثل $z = -4i$ .

وهكذا تصبح الأعداد الحقيقية جزءًا من الأعداد المركبة، كما كانت الأعداد الصحيحة جزءًا من الأعداد النسبية.

حل معادلات لا حل لها في الأعداد الحقيقية

بالعدد $i$ نستطيع حل معادلات مثل $4x^2 + 25 = 0$ :

4x^2 = -25 \;\Rightarrow\; x^2 = -\frac{25}{4} \;\Rightarrow\; x = \pm \frac{5}{2}\, i

تساوي عددين مركبين

يتساوى عددان مركبان إذا وفقط إذا تساوى جزآهما الحقيقيان وتساوى جزآهما التخيليان:

إذا كان $a + bi = c + di$ فإن $a = c$ و $b = d$ ، والعكس صحيح.

فتساوي عددين مركبين يعطينا معادلتين حقيقيتين، وهذا يفيد في إيجاد مجهولين.

العمليات على الأعداد المركبة

نستخدم خواص الإبدال والتجميع والتوزيع كما في الجبر، مع تعويض $i^2 = -1$ كلما ظهرت:

الجمع والطرح: نجمع (أو نطرح) الجزأين الحقيقيين معًا والجزأين التخيليين معًا.
الضرب: نضرب كل حد في كل حد (التوزيع) ثم نعوض $i^2 = -1$ .

العددان المترافقان

العددان $a + bi$ و $a - bi$ يسميان عددين مترافقين؛ أي أن كلًّا منهما يختلف عن الآخر في إشارة الجزء التخيلي فقط. ولهما خاصيتان مهمتان:

مجموعهما عدد حقيقي: $(a+bi) + (a-bi) = 2a$ .
حاصل ضربهما عدد حقيقي غير سالب: $(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$ .

القسمة: لكتابة خارج قسمة عددين مركبين على الصورة $a + bi$ ، نضرب البسط والمقام في مرافق المقام، فيصبح المقام عددًا حقيقيًّا.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد في أبسط صورة: $i^{43}$ و $i^{-6}$ .

$43 = 4 \times 10 + 3$ ، إذن $i^{43} = i^3 = -i$ .
$i^{-6} = i^{-6} \times i^{8} = i^2 = -1$ .

مثال 2: أوجد قيمتي $x$ و $y$ الحقيقيتين اللتين تحققان: $(2x - y) + (x + y)i = 7 + 2i$ .

بمساواة الجزأين الحقيقيين: $2x - y = 7$ ، وبمساواة الجزأين التخيليين: $x + y = 2$ . بجمع المعادلتين: $3x = 9$ إذن $x = 3$ ، ثم $y = 2 - 3 = -1$ .

مثال 3: أوجد ناتج $(4 - 3i) - (1 - 5i)$ ثم $(2 + i)(3 - 4i)$ .

$(4 - 3i) - (1 - 5i) = (4 - 1) + (-3 + 5)i = 3 + 2i$ .
$(2 + i)(3 - 4i) = 6 - 8i + 3i - 4i^2 = 6 - 5i + 4 = 10 - 5i$ .

مثال 4: ضع $\frac{5 + 5i}{1 - 2i}$ على الصورة $a + bi$ .

\frac{5 + 5i}{1 - 2i} \times \frac{1 + 2i}{1 + 2i} = \frac{5 + 10i + 5i + 10i^2}{1^2 + 2^2} = \frac{-5 + 15i}{5} = -1 + 3i

مثال 5 (تطبيق في الكهرباء): في دائرة كهربية مغلقة تتصل فيها مقاومتان على التوازي، إذا كانت شدة التيار في الأولى $(4 - 2i)$ أمبير وفي الثانية $(1 + 3i)$ أمبير، فإن شدة التيار الكلية تساوي مجموعهما: $(4 + 1) + (-2 + 3)i = 5 + i$ أمبير.

ملاحظات مهمة

في الكتاب المدرسي يُكتب العدد التخيلي بالرمز ت والمجهول بالرمز س؛ فالعدد $3 + 2i$ هو نفسه 3 + 2ت.
القاعدة $\sqrt{a}\times\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ لا تصح إذا كان $a$ و $b$ سالبين معًا: $\sqrt{-4}\times\sqrt{-9} = 2i \times 3i = 6i^2 = -6$ وليس $\sqrt{36} = 6$ . لذلك حوّل الجذر السالب إلى صورة تحتوي $i$ قبل الضرب.
الصفر عدد حقيقي، ولا يُعد عددًا تخيليًّا.

المفاهيم الأساسية

$i^2 = -1$ ، وقوى $i$ تتكرر كل أربع قوى: $i,\ -1,\ -i,\ 1$ .
العدد المركب $a + bi$ : جزؤه الحقيقي $a$ وجزؤه التخيلي $b$ .
تساوي عددين مركبين يعني تساوي الجزأين الحقيقيين وتساوي الجزأين التخيليين.
العددان المترافقان $a \pm bi$ : مجموعهما $2a$ وحاصل ضربهما $a^2 + b^2$ .
نقسم عددين مركبين بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.

ملخص الدرس

ظهرت الأعداد المركبة لحل معادلات مثل $x^2 = -1$ . أساسها العدد $i$ الذي مربعه $-1$ ، وقواه تدور في دورة من أربع قيم. العدد المركب يتكون من جزء حقيقي وجزء تخيلي، ونتعامل معه جبريًّا كما نتعامل مع المقادير الجبرية مع تعويض $i^2 = -1$ ، ونستفيد من العدد المرافق في جعل المقام حقيقيًّا عند القسمة.

أسئلة للتدريب

أوجد في أبسط صورة: $i^{27}$ ، $i^{-9}$ ، $i^{100}$ .
حل المعادلة $9x^2 + 16 = 0$ في مجموعة الأعداد المركبة.
أوجد قيمتي $x$ و $y$ الحقيقيتين إذا كان $(x + 2) + (3y - 1)i = 5 + 8i$ .
أوجد ناتج $(3 + 2i)(3 - 2i)$ ، وفسّر لماذا كان الناتج عددًا حقيقيًّا.
ضع $\frac{10}{3 + i}$ على الصورة $a + bi$ .
أوجد في أبسط صورة: $(1 - i)^{10}$ . (إرشاد: احسب $(1 - i)^2$ أولًا.)