أسئلة: مقدمة عن الأعداد المركبة

الإجابة الصحيحة: $-i$

بقسمة 23 على 4، يكون الناتج 5 والباقي 3، إذًا $i^{23} = i^3 = -i$.

الإجابة الصحيحة: $3 - 4i$

مرافق العدد المركب $a+bi$ هو $a-bi$، أي نعكس إشارة الجزء التخيلي فقط.

الإجابة الصحيحة: $5 + 3i$

نجمع الأجزاء الحقيقية $(2+3=5)$ والأجزاء التخيلية $(5i-2i=3i)$.

الإجابة الصحيحة: $2$

$(1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2$؛ لأن حاصل ضرب عددين مترافقين يساوي $a^2 + b^2 = 1 + 1$.

الإجابة الصحيحة: $4i$

العدد التخيلي البحت هو الذي يكون فيه الجزء الحقيقي $a=0$ والجزء التخيلي $b \neq 0$.

الإجابة الصحيحة: إذا كان $a=c$ و $b=d$

يتساوى عددان مركبان إذا تساوى الجزء الحقيقي مع الحقيقي والتخيلي مع التخيلي.

الإجابة الصحيحة: $-4$

$(2i)^2 = 4 \cdot i^2 = 4 \cdot (-1) = -4$.

الإجابة الصحيحة: $1$

الأس 40 يقبل القسمة على 4 بدون باقٍ، لذا $i^{40} = i^0 = 1$.

الإجابة الصحيحة: $7 + i$

بالتوزيع: $6 + 3i - 2i - i^2 = 6 + i + 1 = 7 + i$.

الإجابة الصحيحة: تخيلي بحت

بما أن الجزء الحقيقي صفر والجزء التخيلي لا يساوي صفر، فهو تخيلي بحت.

الإجابة الصحيحة: $2 - 2i$

نطرح الحقيقي $(5-3=2)$ والتخيلي $(2i-4i=-2i)$.

الإجابة الصحيحة: $-1 + 3i$

نضرب البسط والمقام في مرافق المقام $1 + 2i$: $\frac{(5 + 5i)(1 + 2i)}{1 + 4} = \frac{5 + 15i + 10i^2}{5} = \frac{-5 + 15i}{5} = -1 + 3i$.

الإجابة الصحيحة: $3$

بمساواة الجزأين الحقيقيين: $2x - y = 7$، وبمساواة الجزأين التخيليين: $x + y = 2$. بالجمع: $3x = 9$ إذن $x = 3$ و $y = -1$.

الإجابة الصحيحة: $-i$

$i^{-13} = i^{-13} \times i^{16} = i^{3} = -i$، لأن $i^{16} = (i^4)^4 = 1$.

الإجابة الصحيحة: $-6$

$\sqrt{-4} = 2i$ و $\sqrt{-9} = 3i$، إذن الناتج $6i^2 = -6$. الخيار $6$ خطأ شائع ناتج عن ضرب ما تحت الجذرين قبل التحويل إلى $i$.

بالتوزيع: $3(4) + 3(-i) + 2i(4) + 2i(-i) = 12 - 3i + 8i - 2i^2 = 12 + 5i - 2(-1) = 12 + 5i + 2 = 14 + 5i$.

المرافق $\bar{z} = 2 + 3i$. حاصل الضرب $z \cdot \bar{z} = (2 - 3i)(2 + 3i) = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.

$i^{10} = i^2 = -1$ و $i^{12} = 1$. إذًا المجموع هو $-1 + 1 = 0$.

$x^2 = -9$، إذًا $x = \pm \sqrt{-9} = \pm \sqrt{9} \cdot \sqrt{-1} = \pm 3i$.

$z_1 - z_2 = (5 - 2) + (4 - (-1))i = 3 + 5i$.

$(1+i)^2 = 1^2 + 2(1)(i) + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

نضرب البسط والمقام في مرافق المقام $3 - i$: $\frac{10(3 - i)}{(3 + i)(3 - i)} = \frac{30 - 10i}{9 + 1} = \frac{30 - 10i}{10} = 3 - i$.