أسئلة: تحديد نوع جذري المعادلة التربيعية

الإجابة الصحيحة: $b^2 - 4ac$

المميز هو المقدار الذي يقع تحت الجذر في القانون العام وهو $b^2 - 4ac$.

الإجابة الصحيحة: حقيقيين مختلفين

عندما يكون المميز موجباً، نحصل على قيمتين مختلفتين للجذرين.

الإجابة الصحيحة: حقيقيان متساويان

المميز $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$.

الإجابة الصحيحة: مركبان مترافقان

المميز $\Delta = (1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0$.

الإجابة الصحيحة: 16

يجب أن يكون $\Delta = (-8)^2 - 4(1)(k) = 0$، إذن $64 - 4k = 0$ ومنها $k=16$.

الإجابة الصحيحة: 16

$\Delta = (-2)^2 - 4(3)(-1) = 4 + 12 = 16$.

الإجابة الصحيحة: مركبان مترافقان

$\Delta = (0)^2 - 4(1)(4) = -16 < 0$.

الإجابة الصحيحة: $x^2 - 4x + 3 = 0$

$\Delta = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4 > 0$.

الإجابة الصحيحة: مركبان مترافقان

بما أن المميز سالب، فإن الجذور تكون مركبة.

الإجابة الصحيحة: $\Delta$ دائماً موجب

إذا كانت $a$ و $c$ مختلفتي الإشارة فإن $-4ac$ تكون موجبة، وبالتالي $\Delta = b^2 + |4ac| > 0$.

الإجابة الصحيحة: 0

$\Delta = (5)^2 - 4(2)(4) = 25 - 32 = -7 < 0$.

الإجابة الصحيحة: حقيقيان متساويان

$\Delta = (-2\sqrt{3})^2 - 4(1)(3) = 12 - 12 = 0$.

الإجابة الصحيحة: $k = 4$ أو $k = -2$

المميز صفر: $4(k - 1)^2 - 36 = 0$، إذن $(k - 1)^2 = 9$ و $k - 1 = \pm 3$، أي $k = 4$ أو $k = -2$.

الإجابة الصحيحة: $m < 9$

المميز $= 36 - 4m > 0$، إذن $m < 9$.

الإجابة الصحيحة: $2 \pm 3i$

المميز $= 16 - 52 = -36$، إذن $x = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i$.

نحسب المميز: $\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9$. بما أن $\Delta > 0$، فإن للمعادلة جذرين حقيقيين مختلفين.

لجذرين حقيقيين متساويين، يجب أن يكون المميز $\Delta = 0$. إذن $(-4)^2 - 4(1)(m) = 0$، ومنها $16 - 4m = 0$، وبالتالي $m = 4$.

$x^2 = -16$، بأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $x = \pm\sqrt{-16} = \pm 4i$.

نحسب المميز: $\Delta = (2)^2 - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8$. بما أن $\Delta < 0$، فلا توجد جذور حقيقية للمعادلة.

بالتعويض بـ $x=3$: $(3)^2 - 5(3) + c = 0 \implies 9 - 15 + c = 0 \implies c = 6$. المعادلة هي $x^2 - 5x + 6 = 0$. المميز $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0$، إذن الجذر الآخر حقيقي.

إذا كان $\Delta > 0$ يقطع المنحنى محور السينات في نقطتين. إذا كان $\Delta = 0$ يمس المنحنى محور السينات في نقطة واحدة. إذا كان $\Delta < 0$ لا يقطع المنحنى محور السينات.