ملخص تشابه المثلثات — أولى ثانوي

مقدمة

الوحدة الثانية: التشابه — البند 2-2

يُروى أن طاليس قاس ارتفاع الهرم الأكبر دون أن يصعد إليه: غرس عصا رأسية وانتظر حتى صار طول ظلها مساويًا لطولها، ثم قاس ظل الهرم في اللحظة نفسها. الفكرة وراء ذلك أن أشعة الشمس تصنع مع العصا ومع الهرم مثلثين متشابهين. في هذا الدرس نتعلم متى يتشابه مثلثان دون الحاجة لفحص كل الزوايا وكل الأضلاع.

أهداف التعلم

أن تحدد حالات تشابه مثلثين وتستخدم كلًّا منها في البرهان.
أن تكتب التناسب الصحيح بين الأضلاع المتناظرة وتوجد أطوالًا مجهولة.
أن تطبق نتيجة المستقيم الموازي لأحد أضلاع مثلث.
أن تطبق خواص العمود المرسوم من رأس القائمة على الوتر في المثلث القائم.

شرح الدرس

الحالة الأولى: تطابق زاويتين (مسلّمة)

إذا طابقت زاويتان في مثلث نظيرتيهما في مثلث آخر كان المثلثان متشابهين. ويكفي زاويتان لأن مجموع زوايا المثلث $180^\circ$ ، فتتطابق الثالثة تلقائيًّا. ومن هذه المسلّمة:

كل مثلثين متساويي الأضلاع متشابهان.
يتشابه مثلثان متساويا الساقين إذا تساوت زاويتا رأسيهما، أو تساوت زاوية قاعدة في أحدهما مع زاوية قاعدة في الآخر.
يتشابه مثلثان قائما الزاوية إذا تساوت زاوية حادة في أحدهما مع زاوية حادة في الآخر.

الحالة الثانية: تناسب الأضلاع الثلاثة (نظرية)

إذا تناسبت أطوال الأضلاع المتناظرة في مثلثين فإنهما يتشابهان. أي إذا كان:

\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD}

فإن $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ .

الحالة الثالثة: زاوية وضلعان متناسبان (نظرية)

إذا طابقت زاوية من مثلث زاوية من مثلث آخر، وتناسبت أطوال الأضلاع التي تحتوي هاتين الزاويتين، كان المثلثان متشابهين. فإذا كان $\angle A = \angle D$ و $\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}$ فإن $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ . انتبه: الزاوية يجب أن تكون محصورة بين الضلعين.

نتيجة 1: المستقيم الموازي لأحد أضلاع مثلث

إذا رُسم مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث ويقطع الضلعين الآخرين (أو المستقيمين الحاملين لهما) فإن المثلث الناتج يشابه المثلث الأصلي. فإذا كان $DE \parallel BC$ فإن $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ ، لأن الزاوية $A$ مشتركة والزاويتين $ADE$ و $ABC$ متناظرتان.

نتيجة 2: العمود النازل من رأس القائمة على الوتر

في المثلث $ABC$ القائم الزاوية في $A$ ، إذا رُسم $AD \perp BC$ فإنه يقسم المثلث إلى مثلثين متشابهين، وكلٌّ منهما يشابه المثلث الأصلي:

\triangle DBA \sim \triangle DAC \sim \triangle ABC

ومن هذا التشابه نحصل على ثلاث علاقات مهمة (وهي برهان لنظرية إقليدس التي درستها في المرحلة الإعدادية):

(AD)^2 = BD \times DC \qquad (AB)^2 = BD \times BC \qquad (AC)^2 = CD \times CB

أي أن $AD$ وسط متناسب بين $BD$ و $DC$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: في المثلث $ABC$ ، النقطة $D$ على $AB$ والنقطة $E$ على $AC$ بحيث $DE \parallel BC$ . إذا كان $AE = 6$ سم، $EC = 2$ سم، $DE = 9$ سم، $DB = 2$ سم، فأوجد $AD$ و $BC$ .

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ ، إذن $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$ ، و $AC = 8$ سم:

$\frac{AD}{AD + 2} = \frac{6}{8}$ ومنها $8\,AD = 6\,AD + 12$ ، أي $AD = 6$ سم.
$\frac{9}{BC} = \frac{6}{8}$ ومنها $BC = 12$ سم.

مثال 2: مثلثان أطوال أضلاعهما $12, 16, 20$ سم و $9, 12, 15$ سم. هل هما متشابهان؟

$\frac{12}{9} = \frac{16}{12} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$ ، فالأضلاع المتناظرة متناسبة، والمثلثان متشابهان (الحالة الثانية)، ومعامل التشابه $\frac{4}{3}$ .

مثال 3: في المثلث $ABC$ : $AB = 9$ سم، $AC = 12$ سم، $BC = 15$ سم. النقطة $E$ على $AB$ حيث $BE = 5$ سم، والنقطة $D$ على $BC$ حيث $BD = 3$ سم. أثبت أن $\triangle BDE \sim \triangle BAC$ وأوجد $DE$ .

الزاوية $B$ مشتركة، و $\frac{BD}{BA} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ ، و $\frac{BE}{BC} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ . إذن المثلثان متشابهان (الحالة الثالثة)، و $\frac{DE}{AC} = \frac{1}{3}$ فيكون $DE = 4$ سم.

مثال 4: مثلث قائم الزاوية في $A$ ، و $AD \perp BC$ . إذا كان $BD = 4$ سم و $DC = 9$ سم، فأوجد $AD$ و $AB$ .

$(AD)^2 = 4 \times 9 = 36$ إذن $AD = 6$ سم. و $(AB)^2 = BD \times BC = 4 \times 13 = 52$ إذن $AB = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ سم.

مثال 5 (تطبيق حياتي): عمود إنارة ظله 12 مترًا، وفي اللحظة نفسها كان ظل عصا رأسية طولها 1.5 متر يساوي 2 متر. أوجد ارتفاع العمود.

المثلثان متشابهان (زاويتان قائمتان وزاوية سقوط الأشعة نفسها)، إذن $\frac{h}{1.5} = \frac{12}{2}$ ، ومنها $h = 9$ أمتار.

ملاحظات مهمة

في الحالة الثالثة إذا كانت الزاوية غير محصورة بين الضلعين المتناسبين فلا يكفي ذلك لإثبات التشابه.
اكتب المثلثين بترتيب الرؤوس المتناظرة قبل كتابة التناسب، وابدأ بالزاوية المشتركة أو الزوايا المتساوية لتحديد التناظر.
عند وجود مستقيم موازٍ، استخدم الضلع كاملًا في المثلث الكبير ( $AB$ وليس $DB$ ) عند كتابة نسب التشابه.
برهانا الحالتين الثانية والثالثة للاطلاع، والمطلوب هو تطبيقهما.

المفاهيم الأساسية

يتشابه مثلثان إذا تطابقت زاويتان (مسلّمة).
يتشابه مثلثان إذا تناسبت أضلاعهما الثلاثة المتناظرة.
يتشابه مثلثان إذا تطابقت زاوية وتناسب الضلعان المحيطان بها.
المستقيم الموازي لضلع في مثلث يقطع مثلثًا يشابه الأصلي.
في المثلث القائم: $(AD)^2 = BD \times DC$ حيث $AD$ العمود على الوتر.

ملخص الدرس

لإثبات تشابه مثلثين يكفي تحقق إحدى ثلاث حالات: زاويتان متطابقتان، أو ثلاثة أضلاع متناسبة، أو زاوية متطابقة محصورة بين ضلعين متناسبين. ومن حالة الزاويتين نستنتج أن المستقيم الموازي لضلع يكوّن مثلثًا مشابهًا، وأن العمود على الوتر في المثلث القائم يقسمه إلى مثلثين متشابهين تنتج منهما علاقات إقليدس.

أسئلة للتدريب

اذكر حالات تشابه مثلثين الثلاث، وارسم شكلًا يوضح كل حالة.
في المثلث $ABC$ ، $DE \parallel BC$ حيث $D \in AB$ و $E \in AC$ . إذا كان $AD = 4$ سم، $DB = 2$ سم، $DE = 6$ سم، فأوجد $BC$ .
هل المثلثان اللذان أطوال أضلاعهما $5, 7, 9$ سم و $10, 14, 18$ سم متشابهان؟ ولماذا؟
مثلث قائم الزاوية في $A$ و $AD \perp BC$ . إذا كان $BD = 8$ سم و $AD = 12$ سم، فأوجد $DC$ .
شجرة ظلها 15 مترًا في اللحظة التي كان فيها ظل شخص طوله 1.6 متر يساوي 2.4 متر. أوجد ارتفاع الشجرة.