ملخص المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة — أولى ثانوي

مقدمة

الوحدة الثالثة: نظريات التناسب في المثلث — البند 3-1

عرفت في الوحدة السابقة أن المستقيم الموازي لأحد أضلاع مثلث يكوّن مثلثًا مشابهًا للمثلث الأصلي. في هذا الدرس نستخرج من ذلك نتيجة أدق: هذا المستقيم يقسم الضلعين الآخرين إلى أجزاء متناسبة، ثم نعمم الفكرة على مجموعة من المستقيمات المتوازية يقطعها مستقيمان.

أهداف التعلم

أن تستخدم نظرية المستقيم الموازي لأحد أضلاع مثلث لحساب أطوال مجهولة.
أن تستخدم عكس النظرية لإثبات توازي مستقيمين.
أن تطبق نظرية تاليس العامة على مستقيمات متوازية يقطعها قاطعان.
أن تطبق نظرية تاليس الخاصة وتحل مشكلات حياتية على المستقيمات المتوازية.

شرح الدرس

نظرية (1): المستقيم الموازي لأحد أضلاع مثلث

إذا رُسم مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث ويقطع الضلعين الآخرين فإنه يقسمهما إلى قطع أطوالها متناسبة. ففي المثلث $ABC$ ، إذا كان $DE \parallel BC$ حيث $D \in AB$ و $E \in AC$ فإن:

\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}

ومن خواص التناسب نحصل على صور أخرى مفيدة:

\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \qquad , \qquad \frac{DB}{AB} = \frac{EC}{AC}

فكرة البرهان: $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ ، فيكون $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$ ، ثم نكتب $AB = AD + DB$ و $AC = AE + EC$ ونطرح 1 من الطرفين.

وتصح النظرية أيضًا إذا قطع المستقيم الموازي امتدادي الضلعين.

عكس النظرية

إذا قطع مستقيم ضلعين في مثلث وقسمهما إلى قطع أطوالها متناسبة فإنه يوازي الضلع الثالث. أي إذا كان $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ فإن $DE \parallel BC$ .

نظرية (2): نظرية تاليس العامة

إذا قطع مستقيمان عدة مستقيمات متوازية، فإن أطوال القطع الناتجة على أحد القاطعين تكون متناسبة مع أطوال القطع المناظرة لها على القاطع الآخر. فإذا كانت المستقيمات $L_1 \parallel L_2 \parallel L_3 \parallel L_4$ يقطعها المستقيم $m$ في $A, B, C, D$ والمستقيم $m'$ في $A', B', C', D'$ فإن:

\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CD}{C'D'}

حالات خاصة

قاطعان متقاطعان: إذا تقاطع المستقيمان $m$ و $m'$ في النقطة $A$ ، وكان $BB' \parallel CC'$ حيث $B, C \in m$ و $B', C' \in m'$ ، فإن $\frac{AB}{AC} = \frac{AB'}{AC'}$ ، والعكس صحيح.
نظرية تاليس الخاصة: إذا كانت أطوال القطع الناتجة على أحد القاطعين متساوية فإن أطوال القطع الناتجة على القاطع الآخر تكون متساوية كذلك.
نتيجة معروفة: المستقيم المرسوم من منتصف ضلع في مثلث موازيًا لضلع آخر ينصّف الضلع الثالث، والقطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين توازي الثالث وطولها نصف طوله.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: في المثلث $ABC$ ، $DE \parallel BC$ حيث $D \in AB$ و $E \in AC$ . إذا كان $AD = 6$ سم، $DB = 9$ سم، $AC = 20$ سم، فأوجد $AE$ و $EC$ .

$\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$ ، إذن $AE = 20 \times \frac{2}{5} = 8$ سم، و $EC = 20 - 8 = 12$ سم.

مثال 2: في المثلث $ABC$ : $D \in AB$ حيث $AD = 4$ سم و $DB = 6$ سم، و $E \in AC$ حيث $AE = 6$ سم و $EC = 9$ سم. هل $DE \parallel BC$ ؟

$\frac{AD}{DB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ و $\frac{AE}{EC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ . النسبتان متساويتان، إذن $DE \parallel BC$ (عكس النظرية).

مثال 3: ثلاثة مستقيمات متوازية يقطعها مستقيمان. القطعتان على القاطع الأول طولاهما 18 سم و 12 سم، وطول القطعة المناظرة للأولى على القاطع الثاني 24 سم. أوجد طول القطعة الثانية على القاطع الثاني.

$\frac{18}{24} = \frac{12}{x}$ إذن $x = 16$ سم.

مثال 4: ثلاثة مستقيمات متوازية تقطع قاطعين، فتنتج على الأول قطعتان متساويتان، وعلى الثاني قطعتان طولاهما $(3x - 1)$ سم و $(x + 5)$ سم. أوجد $x$ .

بنظرية تاليس الخاصة: $3x - 1 = x + 5$ إذن $x = 3$ ، وطول كل قطعة 8 سم.

مثال 5 (تطبيق): سلم مائل يستند إلى الأرض، وأُسقطت من ثلاث نقاط عليه أعمدة على الأرض (فهي متوازية). إذا كان طول الجزء الأول من السلم 1.5 متر ومسقطه على الأرض 1.2 متر، وكان مسقط السلم كاملًا 4.8 متر، فأوجد طول السلم.

المساقط الرأسية متوازية، فبنظرية تاليس: $\frac{L}{1.5} = \frac{4.8}{1.2}$ ، إذن $L = 6$ أمتار.

ملاحظات مهمة

اكتب كل نسبة بترتيب ثابت على الضلعين (الجزء العلوي إلى السفلي مثلًا) حتى لا تخلط بين الأجزاء.
لإثبات التوازي نقارن نسبتين محسوبتين؛ لا نفترض التوازي ثم نحسب.
نظرية تاليس لا تشترط تساوي المسافات بين المستقيمات المتوازية.
برهانا النظريتين للاطلاع، والمطلوب هو استخدامهما.

المفاهيم الأساسية

الموازي لضلع في مثلث يقسم الضلعين الآخرين إلى أجزاء متناسبة.
إذا قسّم مستقيم ضلعين في مثلث إلى أجزاء متناسبة فإنه يوازي الضلع الثالث.
تاليس العامة: القطع على القاطعين بين مستقيمات متوازية متناسبة.
تاليس الخاصة: القطع المتساوية على قاطع تقابلها قطع متساوية على القاطع الآخر.

ملخص الدرس

المستقيمات المتوازية تنقل النسب من مستقيم إلى آخر: ففي المثلث يقسم الموازي لضلع الضلعين الآخرين بالنسبة نفسها، وبين مستقيمات متوازية تتناسب القطع على أي قاطعين. ونستخدم عكس النظرية لإثبات التوازي، ونظرية تاليس الخاصة عندما تتساوى القطع.

أسئلة للتدريب

في المثلث $ABC$ ، $DE \parallel BC$ ، و $AD = 3$ سم، $DB = 6$ سم، $AE = 4$ سم. أوجد $EC$ .
في المثلث $XYZ$ ، $L \in XY$ و $M \in XZ$ حيث $XL = 5$ سم، $LY = 10$ سم، $XM = 4$ سم، $MZ = 8$ سم. هل $LM \parallel YZ$ ؟
أربعة مستقيمات متوازية يقطعها قاطعان، والقطع على الأول 4 سم و 6 سم و 8 سم. إذا كان طول القاطع الثاني بين المستقيمين الأول والأخير 27 سم، فأوجد أطوال القطع عليه.
أثبت أن القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث.