أسئلة: تطبيقات التشابه في الدائرة

الإجابة الصحيحة: 6 سم

بما أن $4 \times 9 = 6 \times x$، فإن $36 = 6x$، ومنها $x = 6$ سم.

الإجابة الصحيحة: 25 سم

من علاقة المماس والقاطع: $PT^2 = PA \times PB$، أي $10^2 = 4 \times PB$، ومنها $100 = 4 \times PB$، إذن $PB = 25$ سم.

الإجابة الصحيحة: 6 سم

$AE \times EB = CE \times ED$، إذن $3 \times 8 = 4 \times ED$، ومنها $24 = 4 \times ED$، فـ $ED = 6$ سم.

الإجابة الصحيحة: ز.ز

تتشابه المثلثات الناتجة عن تقاطع الأوتار أو القواطع دائمًا بحالة (ز.ز) لتساوي الزوايا المحيطية المرسومة على نفس القوس.

الإجابة الصحيحة: 15 سم

$PA \times PB = PC \times PD$، حيث $PB = 5+7=12$ سم. إذن $5 \times 12 = 4 \times PD$، أي $60 = 4 \times PD$، إذن $PD = 15$ سم.

الإجابة الصحيحة: 9 سم

$PT^2 = PA \times PB$، إذن $6^2 = 4 \times PB$، ومنها $36 = 4 \times PB$، إذن $PB = 9$ سم.

الإجابة الصحيحة: $2\sqrt{5}$ سم

حاصل ضرب جزأي الوتر الأول يساوي حاصل ضرب جزأي الثاني: $2 \times 10 = x \times x$، إذن $x^2 = 20$ و $x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ سم.

الإجابة الصحيحة: $3\sqrt{2}$ سم

$PA \times PB = PC \times PD$، و $PD = PC + CD = 2\,PC$. إذن $3 \times 12 = 2\,(PC)^2$، أي $(PC)^2 = 18$ و $PC = 3\sqrt{2}$ سم.

الإجابة الصحيحة: $AE \times BE = CE \times DE$

حاصل ضرب جزأي الوتر الأول يساوي حاصل ضرب جزأي الوتر الثاني.

الإجابة الصحيحة: 12 سم

$PT^2 = PA \times PB$، $64 = 4 \times PB$، إذن $PB = 16$ سم. بما أن $PB = PA + AB$، إذن $16 = 4 + AB$، $AB = 12$ سم.

الإجابة الصحيحة: 2

$AE \times EB = CE \times ED$، إذن $x(x + 2) = 8$، أي $x^2 + 2x - 8 = 0$، ومنها $(x + 4)(x - 2) = 0$. وبما أن الطول موجب فإن $x = 2$.

الإجابة الصحيحة: زاوية مماسية ومحيطية

تتساوى الزاوية بين المماس والوتر مع الزاوية المحيطية المقابلة لها في الجهة الأخرى من الوتر.

الإجابة الصحيحة: الشكل $DBCH$ رباعي دائري

$AD \times AB = 4 \times 18 = 72$ و $AH \times AC = 6 \times 12 = 72$، فبعكس التمرين المشهور تقع النقاط $D, B, C, H$ على دائرة واحدة. و $DH$ لا يوازي $BC$ لأن $\frac{4}{18} \neq \frac{6}{12}$.

الإجابة الصحيحة: $AB$ يمس الدائرة المارة بالنقاط $B, D, C$

$AD \times AC = 4 \times 9 = 36 = (AB)^2$، فبعكس نتيجة المماس والقاطع يكون $AB$ مماسًا للدائرة المارة بالنقاط $B, D, C$.

الإجابة الصحيحة: $6$ سم

$(MC)^2 = MA \times MB = 3 \times 12 = 36$، إذن $MC = 6$ سم. الخيار $\sqrt{27}$ ناتج عن الضرب في الجزء الداخلي بدل القاطع كاملًا.

1. الزاوية $\angle AEC = \angle DEB$ بالتقابل بالرأس. 2. الزاوية $\angle EAC = \angle EDB$ لأنهما زاويتان محيطيتان مرسومتان على نفس القوس $BC$. إذن المثلثان متشابهان بحالة (ز.ز).

$PA \times PB = PC \times PD$، $4 \times (4+5) = 3 \times PD$، $36 = 3 \times PD$، إذن $PD = 12$ سم. وبما أن $PD = PC + CD$، إذن $12 = 3 + CD$، $CD = 9$ سم.

$PT^2 = PA \times PB$، $15^2 = PA \times 25$، $225 = PA \times 25$، إذن $PA = 225 / 25 = 9$ سم.

العلاقة هي $PT^2 = PA \times PB$. تُستنتج من تشابه المثلثين $PTA$ و $PBT$ (حالة ز.ز)، حيث الزاوية $P$ مشتركة، والزاوية بين المماس والوتر تساوي الزاوية المحيطية المقابلة للوتر.

$5 \times 6 = 3 \times x$، $30 = 3x$، إذن $x = 10$ سم.

$PT^2 = PA \times PB$، $144 = 8 \times PB$، إذن $PB = 18$ سم. $AB = PB - PA = 18 - 8 = 10$ سم.