الثانوية العامة 2026الاستعلام عن النتيجةاعرف الكليات المناسبة لمجموعكتنسيق 2026
ذاكر مصر

الرياضيات · الصف الأول الثانوي · الترم الأول

إيجاد قياس زاوية بمعلومية إحدى نسبها المثلثية

إيجاد قياسات الزاوية θ في الفترة من 0° إلى 360° إذا عُلمت قيمة إحدى دوالها المثلثية: تحديد الأرباع من الإشارة، وإيجاد الزاوية الحادة بالآلة الحاسبة أو من الزوايا الخاصة، ثم حساب الزوايا في الأرباع المطلوبة، مع تطبيقات على الميل والانحدار.

آخر تحديث: · كيف نراجع المحتوى

مقدمة

  • الوحدة الرابعة: حساب المثلثات — البند 4-6

تعلمت كيف تحسب sin⁡θ\sin\theta إذا عرفت الزاوية θ\theta. في هذا الدرس نعكس الاتجاه: إذا عرفت أن sin⁡θ=0.8\sin\theta = 0.8 مثلًا، فما قياس الزاوية؟ ستكتشف أن هناك عادة زاويتين بين 0∘0^\circ و 360∘360^\circ لهما النسبة نفسها، وأن الإشارة هي التي تحدد مكانهما.

أهداف التعلم

  • أن تحدد الربعين اللذين تقع فيهما الزاوية من إشارة النسبة المعلومة.
  • أن توجد الزاوية الحادة المناظرة باستخدام الآلة الحاسبة أو الزوايا الخاصة.
  • أن توجد جميع قياسات الزاوية في الفترة ]0∘,360∘[]0^\circ, 360^\circ[.
  • أن تحل مشكلات حياتية تتطلب إيجاد زاوية من نسبة مثلثية.

شرح الدرس

الفكرة الأساسية

إذا كان y=sin⁡θy = \sin\theta فإننا نستطيع إيجاد θ\theta إذا علمنا yy. وفي الآلة الحاسبة نستخدم الدوال العكسية sin⁡−1\sin^{-1} و cos⁡−1\cos^{-1} و tan⁡−1\tan^{-1} (بالضغط على SHIFT ثم مفتاح الدالة)، وهي تعطي زاوية واحدة فقط، وعلينا نحن إيجاد الباقي.

خطوات الحل

  1. حدد الربعين من إشارة النسبة المعلومة (تذكر: الأول كلها موجبة، الثاني الجيب، الثالث الظل، الرابع جيب التمام).
  2. أوجد الزاوية الحادة α\alpha التي نسبتها تساوي القيمة المطلقة للعدد المعلوم (بالآلة الحاسبة أو من جدول الزوايا الخاصة).
  3. احسب الزاوية في كل ربع:
الربعقياس الزاوية
الأولα\alpha
الثاني180∘−α180^\circ - \alpha
الثالث180∘+α180^\circ + \alpha
الرابع360∘−α360^\circ - \alpha

إذا كانت المعلومة مقلوب دالة

إذا عُلم csc⁡θ\csc\theta أو sec⁡θ\sec\theta أو cot⁡θ\cot\theta، نحوّلها أولًا إلى الدالة الأساسية بأخذ المقلوب: مثلًا cot⁡θ=−1.6204\cot\theta = -1.6204 تعني tan⁡θ=1−1.6204\tan\theta = \frac{1}{-1.6204}، والآلة الحاسبة تفعل ذلك بمفتاح x−1x^{-1}.

الزوايا الربعية

إذا كانت القيمة 00 أو 11 أو −1-1 فالزاوية ربعية، ونقرؤها مباشرة من دائرة الوحدة: sin⁡θ=1\sin\theta = 1 عند 90∘90^\circ فقط، و cos⁡θ=−1\cos\theta = -1 عند 180∘180^\circ فقط، و sin⁡θ=0\sin\theta = 0 عند 0∘0^\circ و 180∘180^\circ و 360∘360^\circ.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد θ\theta حيث 0∘<θ<360∘0^\circ < \theta < 360^\circ إذا كان sin⁡θ=−12\sin\theta = -\frac{1}{2}.

الجيب سالب، إذن θ\theta في الربع الثالث أو الرابع. الزاوية الحادة: sin⁡α=12\sin\alpha = \frac{1}{2} أي α=30∘\alpha = 30^\circ.

  • الربع الثالث: θ=180∘+30∘=210∘\theta = 180^\circ + 30^\circ = 210^\circ.
  • الربع الرابع: θ=360∘−30∘=330∘\theta = 360^\circ - 30^\circ = 330^\circ.

مثال 2: أوجد θ\theta حيث 0∘<θ<360∘0^\circ < \theta < 360^\circ إذا كان sin⁡θ=0.8\sin\theta = 0.8.

الجيب موجب: الربع الأول أو الثاني. بالآلة الحاسبة: α=sin⁡−1(0.8)≈53∘ 7′ 48′′\alpha = \sin^{-1}(0.8) \approx 53^\circ\, 7'\, 48''.

  • الربع الأول: θ≈53∘ 7′ 48′′\theta \approx 53^\circ\, 7'\, 48''.
  • الربع الثاني: θ≈180∘−53∘ 7′ 48′′=126∘ 52′ 12′′\theta \approx 180^\circ - 53^\circ\, 7'\, 48'' = 126^\circ\, 52'\, 12''.

مثال 3: أوجد θ\theta حيث 0∘<θ<360∘0^\circ < \theta < 360^\circ إذا كان tan⁡θ=−0.75\tan\theta = -0.75.

الظل سالب: الربع الثاني أو الرابع. α=tan⁡−1(0.75)≈36∘ 52′ 12′′\alpha = \tan^{-1}(0.75) \approx 36^\circ\, 52'\, 12''.

  • الربع الثاني: θ≈143∘ 7′ 48′′\theta \approx 143^\circ\, 7'\, 48''.
  • الربع الرابع: θ≈323∘ 7′ 48′′\theta \approx 323^\circ\, 7'\, 48''.

مثال 4: أوجد θ\theta إذا كان cos⁡θ=−32\cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} حيث 0∘<θ<360∘0^\circ < \theta < 360^\circ.

جيب التمام سالب: الربع الثاني أو الثالث، و α=30∘\alpha = 30^\circ؛ إذن θ=150∘\theta = 150^\circ أو θ=210∘\theta = 210^\circ.

مثال 5 (تطبيق): طريق منحدر طوله 65 مترًا يرتفع طرفه العلوي 8 أمتار عن المستوى الأفقي. أوجد زاوية ميل الطريق على الأفقي.

في المثلث القائم: sin⁡θ=865\sin\theta = \frac{8}{65}، والزاوية حادة، إذن θ=sin⁡−1(865)≈7∘ 4′ 11′′\theta = \sin^{-1}\left(\frac{8}{65}\right) \approx 7^\circ\, 4'\, 11''.

مثال 6: قطعة مستقيمة تصل بين النقطتين A(3,0)A(3, 0) و B(7,3)B(7, 3). أوجد قياس الزاوية التي تصنعها مع الاتجاه الموجب لمحور السينات.

tan⁡θ=3−07−3=34\tan\theta = \frac{3 - 0}{7 - 3} = \frac{3}{4}، إذن θ≈36∘ 52′ 12′′\theta \approx 36^\circ\, 52'\, 12''.

ملاحظات مهمة

  • تأكد أن الآلة الحاسبة على وضع الدرجات (Deg) عندما تريد الناتج بالدرجات.
  • أدخل القيمة المطلقة للعدد عند إيجاد الزاوية الحادة، ثم استخدم الإشارة لتحديد الأرباع؛ وإلا حصلت على زاوية سالبة تحتاج إلى تحويل.
  • قيمة sin⁡θ\sin\theta أو cos⁡θ\cos\theta لا يمكن أن تزيد على 1 أو تقل عن −1-1؛ فالمعادلة sin⁡θ=1.3\sin\theta = 1.3 ليس لها حل.
  • في الكتاب المدرسي تُكتب الفترة المفتوحة ]0∘,360∘[]0^\circ, 360^\circ[، وهي ما نعبر عنه بالشرط 0∘<θ<360∘0^\circ < \theta < 360^\circ.

المفاهيم الأساسية

  • الإشارة تحدد الربعين، والقيمة المطلقة تحدد الزاوية الحادة α\alpha.
  • الزوايا: α\alpha، 180∘−α180^\circ - \alpha، 180∘+α180^\circ + \alpha، 360∘−α360^\circ - \alpha حسب الربع.
  • المقلوبات تُحول إلى الدالة الأساسية قبل استخدام الآلة الحاسبة.
  • للنسبة الواحدة غالبًا زاويتان في الفترة من 0∘0^\circ إلى 360∘360^\circ.

ملخص الدرس

لإيجاد زاوية بمعلومية نسبتها المثلثية نبدأ بالإشارة لتحديد الأرباع الممكنة، ثم نوجد الزاوية الحادة المناظرة بالآلة الحاسبة أو من الزوايا الخاصة، ثم ننقلها إلى الأرباع المطلوبة. وتفيد هذه المهارة في حساب زوايا الميل والانحدار في المواقف الحياتية.

أسئلة للتدريب

  1. أوجد θ\theta حيث 0∘<θ<360∘0^\circ < \theta < 360^\circ إذا كان cos⁡θ=12\cos\theta = \frac{1}{2}.
  2. أوجد θ\theta حيث 0∘<θ<360∘0^\circ < \theta < 360^\circ إذا كان tan⁡θ=−3\tan\theta = -\sqrt{3}.
  3. أوجد θ\theta لأقرب ثانية إذا كان cos⁡θ=0.3\cos\theta = 0.3 و 0∘<θ<360∘0^\circ < \theta < 360^\circ.
  4. أوجد θ\theta إذا كان csc⁡θ=2\csc\theta = 2 و 0∘<θ<360∘0^\circ < \theta < 360^\circ.
  5. لعبة تزحلق طولها 16 مترًا وارتفاعها 10 أمتار. أوجد زاوية ميلها على الأرض لأقرب دقيقة.
حلّ أسئلة هذا الدرساختبر فهمك بأسئلة اختيار من متعدد وأسئلة مقالية مع نموذج إجابة، أو خض اختبارًا تفاعليًا سريعًا
أبلغ عن خطأ في هذا الدرس