أسئلة: العلاقات

الإجابة الصحيحة: مجموعة جزئية من حاصل الضرب الديكارتي $A \times B$

تعريف العلاقة رياضياً أنها أي مجموعة جزئية من حاصل الضرب الديكارتي للمجموعتين.

الإجابة الصحيحة: \{4, 5\}

مجال العلاقة العكسية يساوي مدى العلاقة الأصلية، وبما أن مدى العلاقة الأصلية هو \{4, 5\} إذن مجال العلاقة العكسية هو نفسه.

الإجابة الصحيحة: \{1, 3, 5\}

مدى العلاقة العكسية يساوي مجال العلاقة الأصلية دائماً.

الإجابة الصحيحة: \{(1,1), (2,2), (3,3)\}

قاعدة العلاقة هي $y = x$، فنبحث عن الأزواج التي يكون فيها المسقط الثاني مساوياً للمسقط الأول وتنتنمي للمجموعة $A$.

الإجابة الصحيحة: \{(1,2), (2,4)\}

نعوض بقيم $x \in A$: عندما $x=1 \Rightarrow y=2$ (موجود)، $x=2 \Rightarrow y=4$ (موجود)، $x=4 \Rightarrow y=8$ (غير موجود في $A$ ويُستبعد).

الإجابة الصحيحة: المحور الأفقي (محور السينات)

حسب قواعد تمثيل العلاقات، تمثل عناصر المجال على المحور الأفقي وعناصر المدى على المحور الرأسي.

الإجابة الصحيحة: 4 عناصر

عدد عناصر $A \times B$ يساوي عدد عناصر $A$ مضروباً في عدد عناصر $B$ أي $2 \times 2 = 4$.

الإجابة الصحيحة: \{(5, 10)\}

بما أن المجال يحتوي على عنصر واحد والمدى على عنصر واحد، إذن العلاقة تتكون من زوج مرتب وحيد وهو $(5, 10)$.

1. نختبر قيم $x \in A$ حسب القاعدة $y = x + 1$:\n- عندما $x = 1 \Rightarrow y = 2$ (موجود في $A$).\n- عندما $x = 2 \Rightarrow y = 3$ (موجود في $A$).\n- عندما $x = 3 \Rightarrow y = 4$ (موجود في $A$).\n- عندما $x = 4 \Rightarrow y = 5$ (غير موجود في $A$، يُستبعد).\n2. إذن العلاقة هي: $R = \{(1,2), (2,3), (3,4)\}$\n3. مجال العلاقة $D_R = \{1, 2, 3\}$\n4. مدى العلاقة $M_R = \{2, 3, 4\}$

1. نطبق القاعدة $y = 2x$ لعناصر $A$:\n- $x = 1 \Rightarrow y = 2$ (موجود في $B$) $\rightarrow (1,2)$\n- $x = 2 \Rightarrow y = 4$ (موجود في $B$) $\rightarrow (2,4)$\n- $x = 3 \Rightarrow y = 6$ (موجود في $B$) $\rightarrow (3,6)$\nإذن $R = \{(1,2), (2,4), (3,6)\}$\n2. جدول العلاقة:\n- صف/عمود $x$: $1$ | $2$ | $3$\n- صف/عمود $y$: $2$ | $4$ | $6$

1. أكبر عدد ممكن من الأزواج المرتبة يساوي عدد عناصر حاصل الضرب الديكارتي للمجال والمدى $D_R \times M_R$.\n2. عدد عناصر المجال = 3، وعدد عناصر المدى = 2.\n3. أكبر عدد ممكن من الأزواج = $3 \times 2 = 6$ أزواج مرتبة.\n4. السبب لأن العلاقة هي أي مجموعة جزئية من حاصل الضرب الديكارتي بين المجال والمدى، وأكبر مجموعة جزئية هي المجموعة نفسها التي تحوي 6 عناصر.

1. نحسب قيمة $y$ لكل قيمة لـ $x$:\n- $x = -2 \Rightarrow y = (-2)^2 = 4 \rightarrow (-2, 4)$\n- $x = -1 \Rightarrow y = (-1)^2 = 1 \rightarrow (-1, 1)$\n- $x = 0 \Rightarrow y = 0^2 = 0 \rightarrow (0, 0)$\n- $x = 1 \Rightarrow y = 1^2 = 1 \rightarrow (1, 1)$\n- $x = 2 \Rightarrow y = 2^2 = 4 \rightarrow (2, 4)$\n2. إذن $R = \{(-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4)\}$\n3. المجال $D_R = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$\n4. المدى $M_R = \{0, 1, 4\}$

1. من تعريف العلاقة العكسية: $R^{-1} = \{(y, x) : (x, y) \in R\}$.\n2. مجال العلاقة العكسية $D_{R^{-1}}$ هو مجموعة المساقط الأولى للأزواج المرتبة في $R^{-1}$، وهي هنا المساقط $y$.\n3. بما أن $y$ هي نفسها المساقط الثانية (الصالات) للأزواج المرتبة $(x, y)$ في العلاقة الأصلية $R$، والتي تُمثّل مدى العلاقة الأصلية $M_R$.\n4. إذن: $D_{R^{-1}} = M_R$. وهو المطلوب.