أسئلة: الدالة (التطبيق)

الإجابة الصحيحة: لا، لأن العنصر $1$ له أكثر من صورة

لكي تكون العلاقة دالة، يجب ألا تكرر مساقطها الأولى بصور مختلفة. العنصر $1$ ظهر مرتين بصورتين مختلفتين ($2$ و $4$)، لذا فهي ليست دالة.

الإجابة الصحيحة: \{(1, 4), (2, 5), (3, 4)\}

الدالة يجب أن تُعرّف لكل عنصر في مجموعة الانطلاق $A = \{1, 2, 3\}$ عنصرًا واحدًا فقط في $B$. الخيار الأول يحقق ذلك تمامًا.

الإجابة الصحيحة: \{5\}

هذه دالة ثابتة، حيث تُعطي نفس القيمة $5$ لجميع عناصر المجال، إذن المدى هو مجموعة العنصر الواحد \{5\}.

الإجابة الصحيحة: $2$

في دالة المطابقة، صورة أي عنصر هي نفس العنصر؛ إذن $g(-2) = -2$ و $g(4) = 4$. المجموع: $-2 + 4 = 2$.

الإجابة الصحيحة: اختبار الخط الرأسي

يُستخدم اختبار الخط الرأسي بيانيًا، فإذا قطع أي خط رأسي المنحنى في أكثر من نقطة واحدة دلّ ذلك على أن العلاقة ليست دالة.

الإجابة الصحيحة: $5$

بما أن الدالة ثابتة، إذن $f(2) = k$ و $f(7) = k$. إذن $k + k = 10 \implies 2k = 10 \implies k = 5$.

الإجابة الصحيحة: $y^2 = x$

في المعادلة $y^2 = x$، عند تعويض $x = 4$ مثلاً، تنتج قيمتان لـ $y$ هما $2$ و $-2$، مما يعني أن عنصراً واحداً له صورتان، فلا تمثل دالة.

الإجابة الصحيحة: دالة ثابتة

جميع عناصر المجال ($2, 4, 6$) لها نفس الصورة ($5$)، وهذا هو تعريف الدالة الثابتة.

الإجابة الصحيحة: $6$

دالة المطابقة تعيد كل عنصر لنفسه؛ إذن $f(1)=1$ و $f(2)=2$ و $f(3)=3$. الحاصل هو $1 \times 2 \times 3 = 6$.

الإجابة الصحيحة: \{2, 4, 6\}

المدى هو مجموعة الصور الناتجة في المسقط الثاني وهي \{2, 4, 6\}، وهي هنا تمثل الدالة المطابقة على عناصر متساوية في القيمة أو ارتباطاً كاملاً.

الإجابة الصحيحة: $0$

بما أن الدالة ثابتة، فإن $f(100) = 7$ و $f(0) = 7$. إذن الفرق هو $7 - 7 = 0$.

الإجابة الصحيحة: لا توجد أي قيود على اختيار $k$ كعدد حقيقي

لكي تكون العلاقة دالة، اشترطنا ألا يتكرر المسقط الأول بصور مختلفة. العنصر $2$ ظهر مرة واحدة فقط بمسقط أول $2$، بغض النظر عن قيمة مسقطه الثاني $k$، فإن العلاقة تظل دالة.

1. نعم، العلاقة تمثل دالة لأن كل عنصر من عناصر المسقط الأول (المجال) له صورة واحدة فقط ولا يوجد تكرار في المسقط الأول. 2. المجال ($D_R$) = \{1, 2, 3, 4\}. 3. المدى ($M_R$) = \{2, 4, 6, 8\}.

مثال على علاقة ليست دالة: $R = \{(a, 1), (a, 2), (b, 3)\}$. السبب: لأن العنصر $a$ من مجموعة الانطلاق $A$ ظهر مرتين بمسقطين أولين متطابقين وله صورتان مختلفتان وهما $1$ و $2$، وهذا يخالف شرط الدالة بأن يكون لكل عنصر صورة واحدة فقط.

1. بما أن التمثيل يمر بالنقطة $(3, 5)$، فهذا يعني أن $f(3) = 5$، وبما أن الدالة ثابتة فإن $k = 5$. 2. قاعدة الدالة هي $f(x) = 5$. 3. مجموعة الأزواج المرتبة: $f = \{(-1, 5), (0, 5), (3, 5)\}$. 4. مدى الدالة: $M_f = \{5\}$.

معادلة الدائرة هي $x^2 + y^2 = 9$. عند رسم هذه الدائرة بيانيًا في المستوى الإحداثي، وإسقاط خط مستقيم رأسي عند أي قيمة لـ $x$ (مثل $x = 0$)، فإن هذا الخط الرأسي سيقطع منحنى الدائرة في نقطتين وهما $(0, 3)$ و $(0, -3)$. وبما أن الخط الرأسي قطع المنحنى في أكثر من نقطة، فهذا يثبت أن قيمة $x$ الواحدة لها صورتان مختلفتان $y$، وبالتالي لا تمثل الدائرة دالة.

1. مجموعة المجال $A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$. 2. بما أنها دالة مطابقة ($g(x) = x$)، إذن الأزواج المرتبة هي: $g = \{(-2, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 2\}$. 3. حساب المقدار: $g(-1) = -1$ $g(0) = 0$ $g(2) = 2$ المجموع = $-1 + 0 + 2 = 1$.

1. لكي تكون العلاقة دالة ثابتة، يجب أن تكون جميع صور عناصر المجال متساوية. 2. من الزوج الثاني، قيمة الصورة الثابتة هي $4$. 3. نساوي المسقط الثاني للزوج الأول بالقيمة $4$: $k - 1 = 4 \implies k = 5$. 4. نتأكد من الزوج الثالث: $2k - 6 = 2(5) - 6 = 10 - 6 = 4$ (وهي متطابقة). 5. إذن قيمة $k = 5$. 6. الدالة بصورتها النهائية: $R = \{(1, 4), (2, 4), (3, 4)\}$.