أسئلة: دوال كثيرات الحدود

الإجابة الصحيحة: $n$ عدد صحيح غير سالب

وفقًا لتعريف دالة كثيرة الحدود، يجب أن يكون الأس $n$ عددًا صحيحًا غير سالب.

الإجابة الصحيحة: الدرجة $3$ والمعامل القيادي $5$

الدرجة هي أعلى أس للمتغير $x$ وهو $3$، والمعامل القيادي هو معامل هذا الحد وهو $5$.

الإجابة الصحيحة: $6$

الحد المطلق هو الحد الذي لا يحتوي على المتغير $x$، وهو $a_0$ في الصورة العامة.

الإجابة الصحيحة: $g(x) = \frac{1}{x} + 2$

الدالة $g(x) = \frac{1}{x} + 2$ تحتوي على الحد $x^{-1}$، والأس $-1$ ليس عددًا صحيحًا غير سالب، لذا هي ليست دالة كثيرة حدود.

الإجابة الصحيحة: $g(x) = 2x - 7$

الدالة الخطية هي دالة كثيرة حدود من الدرجة الأولى، وتُكتب على الصورة $f(x) = ax + b$ حيث $a \neq 0$.

الإجابة الصحيحة: دالة تربيعية

الدالة التربيعية، وهي من الدرجة الثانية، تمثل بيانيًا بقطع مكافئ.

الإجابة الصحيحة: $3$

$f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 2(4) - 6 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$.

الإجابة الصحيحة: $6$

$f(-1) = 2(-1)^2 - (-1) + 3 = 2(1) + 1 + 3 = 2 + 1 + 3 = 6$.

الإجابة الصحيحة: $3x^2 + 2x + 3$

$(f+g)(x) = (x^2+3x-2) + (2x^2-x+5) = (x^2+2x^2) + (3x-x) + (-2+5) = 3x^2 + 2x + 3$.

الإجابة الصحيحة: $-x^2 + 4x - 7$

$(f-g)(x) = (x^2+3x-2) - (2x^2-x+5) = x^2+3x-2 - 2x^2+x-5 = (x^2-2x^2) + (3x+x) + (-2-5) = -x^2 + 4x - 7$.

الإجابة الصحيحة: $x^2 + x - 6$

$(f \cdot g)(x) = (x-2)(x+3) = x(x+3) - 2(x+3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$.

الإجابة الصحيحة: $0$

الدالة الثابتة هي حالة خاصة من دوال كثيرات الحدود من الدرجة الصفرية، حيث $f(x) = a_0$ و $a_0 \neq 0$.

دالة كثيرة الحدود هي دالة تُكتب على الصورة العامة: $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ حيث $n$ عدد صحيح غير سالب، و $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ أعداد حقيقية تسمى المعاملات، بشرط $a_n \neq 0$. الدرجة هي أعلى أس للمتغير $x$ في المقدار، وهو $n$. المعامل القيادي هو معامل الحد ذي أعلى أس، وهو $a_n$. الحد المطلق هو الحد الثابت الذي لا يحتوي على المتغير $x$، وهو $a_0$.

الدالة $g(x) = 3x^2 - 5x + \sqrt{x}$ ليست دالة كثيرة حدود. السبب هو أن الحد $\sqrt{x}$ يمكن كتابته على الصورة $x^{1/2}$، والأس $1/2$ ليس عددًا صحيحًا غير سالب، وهو شرط أساسي لكي تكون الدالة كثيرة حدود.

لإيجاد $f(2)$: $f(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1$ $f(2) = 3(4) - 8 + 1$ $f(2) = 12 - 8 + 1$ $f(2) = 5$ لإيجاد $f(-2)$: $f(-2) = 3(-2)^2 - 4(-2) + 1$ $f(-2) = 3(4) - (-8) + 1$ $f(-2) = 12 + 8 + 1$ $f(-2) = 21$

لإيجاد $(f+g)(x)$: $(f+g)(x) = (2x^2 + 5x - 3) + (x^2 - 2x + 4)$ $(f+g)(x) = (2x^2 + x^2) + (5x - 2x) + (-3 + 4)$ $(f+g)(x) = 3x^2 + 3x + 1$ لإيجاد $(f-g)(x)$: $(f-g)(x) = (2x^2 + 5x - 3) - (x^2 - 2x + 4)$ $(f-g)(x) = 2x^2 + 5x - 3 - x^2 + 2x - 4$ $(f-g)(x) = (2x^2 - x^2) + (5x + 2x) + (-3 - 4)$ $(f-g)(x) = x^2 + 7x - 7$

$(f \cdot g)(x) = (3x - 1)(x^2 - 2x + 5)$ $(f \cdot g)(x) = 3x(x^2 - 2x + 5) - 1(x^2 - 2x + 5)$ $(f \cdot g)(x) = (3x \cdot x^2) + (3x \cdot -2x) + (3x \cdot 5) - (1 \cdot x^2) - (1 \cdot -2x) - (1 \cdot 5)$ $(f \cdot g)(x) = 3x^3 - 6x^2 + 15x - x^2 + 2x - 5$ $(f \cdot g)(x) = 3x^3 + (-6x^2 - x^2) + (15x + 2x) - 5$ $(f \cdot g)(x) = 3x^3 - 7x^2 + 17x - 5$

لدينا $(f-g)(x) = f(x) - g(x)$. إذن، $f(x) - g(x) = 3x - 5$. بالتعويض بقيمة $g(x)$: $f(x) - (2x + 1) = 3x - 5$ لإيجاد $f(x)$، نضيف $(2x+1)$ إلى الطرفين: $f(x) = (3x - 5) + (2x + 1)$ $f(x) = (3x + 2x) + (-5 + 1)$ $f(x) = 5x - 4$