المحتوى الرئيسي

تعريف دالة كثيرة الحدود

دالة كثيرة الحدود هي دالة تُكتب على الصورة العامة: $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ حيث $n$ عدد صحيح غير سالب (رتبة الدالة)، و $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ أعداد حقيقية تسمى المعاملات، بشرط $a_n \neq 0$.

• $n$ تسمى درجة كثيرة الحدود.
• $a_n$ يسمى المعامل القيادي (الرئيسي).
• $a_0$ يسمى الحد المطلق (الثابت).

درجة دالة كثيرة الحدود

درجة الدالة هي أعلى أس (قوة) للمتغير $x$ في المقدار، بشرط أن يكون معاملها غير صفري. فمثلًا في $f(x) = 5x^3 - 2x + 7$ تكون الدرجة $3$ والمعامل القيادي $5$.

حالات خاصة من دوال كثيرات الحدود

1) الدالة من الدرجة الصفرية (الدالة الثابتة): $f(x) = a_0 \ , \ a_0 \neq 0$

2) الدالة الخطية (من الدرجة الأولى): $f(x) = a x + b \ , \ a \neq 0$ تمثيلها البياني خط مستقيم، حيث $a$ يمثل ميل الخط و $b$ يمثل طول الجزء المقطوع من محور الصادات.

3) الدالة التربيعية (من الدرجة الثانية): $f(x) = a x^2 + b x + c \ , \ a \neq 0$ تمثيلها البياني منحنى يسمى القطع المكافئ (parabola).

حساب قيمة الدالة عند نقطة

لإيجاد قيمة $f(k)$، نعوّض بـ $x = k$ في مقدار الدالة ونبسّط. فإذا كانت $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ فإن: $f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$

العمليات على الدوال

إذا كانت $f$ و $g$ دالتين معرّفتين على نفس المجال (أو على تقاطع مجاليهما)، تُعرَّف العمليات التالية:

$(f+g)(x) = f(x) + g(x)$ $(f-g)(x) = f(x) - g(x)$ $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ $\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \ , \ g(x) \neq 0$

عند جمع أو طرح دالتين من كثيرات الحدود، تُجمع أو تُطرح الحدود المتشابهة (نفس قوة $x$) فقط، تمامًا كما في جمع وطرح كثيرات الحدود الجبرية العادية. أما عند الضرب فيُوزَّع كل حد في الدالة الأولى على جميع حدود الدالة الثانية.

أسئلة للمراجعة

• حدد درجة الدالة $h(x) = 5 - 3x + 2x^4$ ومعاملها القيادي وحدها المطلق.
• إذا كانت $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$، أوجد $f(2)$ و $f(-2)$.
• إذا كانت $f(x) = 2x + 1$ و $g(x) = x^2 - 3$، أوجد $(f+g)(x)$ و $(f\cdot g)(x)$.
• إذا كانت $(f-g)(x) = 3x - 5$ و $g(x) = 2x + 1$، أوجد $f(x)$.