المحتوى الرئيسي

مفهوم الزوج المرتب

الزوج المرتب هو تجميع عنصرين في ترتيب معين، ويُكتب على الصورة $(x, y)$ حيث $x$ يسمى المؤلفة الأولى و $y$ يسمى المؤلفة الثانية. ويتساوى زوجان مرتبان $(x_1, y_1) = (x_2, y_2)$ إذا وفقط إذا كان $x_1 = x_2$ و $y_1 = y_2$.

من المهم ملاحظة أن الزوج المرتب يختلف عن المجموعة $\{x, y\}$؛ فبينما $\{x, y\} = \{y, x\}$، فإن $(x, y) \neq (y, x)$ إلا إذا كان $x = y$.

تعريف حاصل الضرب الديكارتي

إذا كانت $A$ و $B$ مجموعتين غير خاليتين، فإن حاصل الضرب الديكارتي لهما (ويُرمز له بـ $A \times B$، وتُقرأ ”$A$ ضرب $B$”) هو مجموعة كل الأزواج المرتبة $(x, y)$ التي تحقق أن $x \in A$ و $y \in B$: $A \times B = \{(x, y) : x \in A, \ y \in B\}$

مثال: إذا كانت $A = \{1, 2\}$ و $B = \{3, 4, 5\}$ فإن: $A \times B = \{(1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5)\}$

عدد عناصر حاصل الضرب الديكارتي

إذا كانت $A$ و $B$ مجموعتين منتهيتين، وكان $n(A)$ عدد عناصر $A$ و $n(B)$ عدد عناصر $B$، فإن عدد عناصر $A \times B$ يُعطى بالعلاقة: $n(A \times B) = n(A) \times n(B)$

ففي المثال السابق: $n(A) = 2$، $n(B) = 3$، إذن $n(A \times B) = 2 \times 3 = 6$، وهو ما يتفق مع العد المباشر للأزواج المرتبة.

حاصل الضرب الديكارتي غير تبادلي

بصفة عامة $A \times B \neq B \times A$ إذا كانت $A \neq B$، لأن ترتيب المؤلفتين مهم. فباستخدام المثال السابق: $B \times A = \{(3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (5,1), (5,2)\}$ ويلاحظ أن $A \times B \neq B \times A$ رغم أن $n(A \times B) = n(B \times A) = 6$.

تمثيل حاصل الضرب الديكارتي

1. بطريقة الجدول: يُكتب عناصر $A$ في صف والعناصر $B$ في عمود، وتُملأ الخلايا بالأزواج المرتبة المقابلة.
2. بطريقة الشجرة (شكل الشجرة): تُرسم فروع من كل عنصر في $A$ إلى كل عنصر في $B$.
3. بيانيًا على المستوى الإحداثي: تُمثَّل عناصر $A$ على المحور الأفقي وعناصر $B$ على المحور الرأسي، وتُمثَّل كل عناصر $A \times B$ بنقاط.

حالة خاصة: $A \times A$

إذا كانت $A = B$ فإن $A \times A$ يسمى المربع الديكارتي للمجموعة $A$، ويُرمز له أحيانًا بـ $A^2$.

أسئلة للمراجعة

• إذا كانت $A = \{x, y, z\}$ و $B = \{1, 2\}$، اكتب عناصر $A \times B$ ومثلها بطريقة الجدول.
• إذا كان $n(A \times B) = 12$ و $n(A) = 3$، أوجد $n(B)$.
• بيّن بمثال عددي أن $A \times B \neq B \times A$ عندما $A \neq B$.
• إذا كانت $A \times A = \{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}$، أوجد المجموعة $A$.