ملخص التشتت — ثالثة إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة الثالثة: الإحصاء

فصلان متوسط درجاتهما في اختبار واحد هو $15$ من $20$ ؛ في الأول حصل جميع الطلاب على درجات قريبة من $15$ ، وفي الثاني تراوحت الدرجات بين $5$ و $20$ . الوسط الحسابي وحده لا يكشف هذا الفرق، ولذلك نحتاج إلى مقاييس التشتت التي يتناولها هذا الدرس.

أهداف التعلم

أن يوضح الطالب أهمية مقاييس التشتت في وصف البيانات إلى جانب مقاييس النزعة المركزية.
أن يحسب الطالب المدى لمجموعة من البيانات.
أن يحسب الطالب الانحراف المتوسط لمجموعة من البيانات غير المبوبة.
أن يحسب الطالب التباين والانحراف المعياري ويفسر دلالتهما.

شرح الدرس

لماذا نحتاج مقاييس التشتت؟

مقاييس النزعة المركزية (كالوسط الحسابي) تصف “مركز” البيانات، لكنها لا تخبرنا عن مدى تقارب أو تباعد القيم عن هذا المركز. فقد يكون لمجموعتين نفس الوسط الحسابي بينما تكون إحداهما متجانسة (قيمها متقاربة) والأخرى متشتتة (قيمها متباعدة). لذلك تُستخدم مقاييس التشتت لوصف درجة تشتت أو تجانس البيانات حول الوسط.

مخططان نقطيان لفصلين وسطهما الحسابي 15: درجات الفصل الأول متقاربة حول 15، ودرجات الفصل الثاني متباعدة بين 5 و20

المدى (Range)

أبسط مقاييس التشتت، ويُعرَّف بأنه الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في البيانات:

\text{المدى} = \text{أكبر قيمة} - \text{أصغر قيمة}

وعلى الرغم من سهولة حسابه، إلا أنه لا يأخذ في الاعتبار توزيع باقي القيم، ويتأثر بشدة بالقيم الشاذة (المتطرفة).

الانحراف المتوسط (Mean Deviation)

هو متوسط القيم المطلقة لانحرافات (بُعد) كل قيمة عن الوسط الحسابي $\bar{x}$ . لبيانات غير مبوبة $x_1, x_2, \dots, x_n$ :

\text{الانحراف المتوسط} = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n}

حيث تُستخدم القيمة المطلقة لأن مجموع الانحرافات الفعلية (بدون قيمة مطلقة) عن الوسط الحسابي يساوي صفرًا دائمًا.

التباين (Variance)

يقيس التباين متوسط مربعات انحرافات القيم عن الوسط الحسابي، ويُرمز له بـ $\sigma^2$ (أو $S^2$ ):

\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}

استخدام مربعات الانحرافات (بدلًا من القيمة المطلقة) يجعل التباين أكثر ملاءمة للمعالجات الرياضية والإحصائية المتقدمة، لكنه يجعل وحدة القياس مربعة (فمثلًا إذا كانت البيانات بالسنتيمتر، يكون التباين بوحدة سم²).

الانحراف المعياري (Standard Deviation)

لإعادة وحدة القياس إلى وحدتها الأصلية، يُعرَّف الانحراف المعياري بأنه الجذر التربيعي الموجب للتباين، ويُرمز له بـ $\sigma$ (أو $S$ ):

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}

ويُعد الانحراف المعياري من أهم وأدق مقاييس التشتت وأكثرها استخدامًا، حيث كلما صغرت قيمته دلّ ذلك على تجانس البيانات (تقاربها حول الوسط)، وكلما كبرت دلّ ذلك على تشتتها (تباعدها عن الوسط).

خطوات حساب الانحراف المعياري لبيانات غير مبوبة

حساب الوسط الحسابي $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ .
حساب انحراف كل قيمة عن الوسط: $x_i - \bar{x}$ .
تربيع كل انحراف: $(x_i - \bar{x})^2$ .
جمع المربعات وقسمتها على $n$ للحصول على التباين $\sigma^2$ .
أخذ الجذر التربيعي الموجب للتباين للحصول على $\sigma$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد المدى للبيانات: $12, 7, 15, 9, 20, 5$ .

الحل: أكبر قيمة $=20$ ، أصغر قيمة $=5$ .

\text{المدى} = 20 - 5 = 15

مثال 2: أوجد الانحراف المتوسط للبيانات: $4, 6, 8, 10, 12$ .

الحل: الوسط الحسابي $\bar{x} = \frac{4+6+8+10+12}{5} = \frac{40}{5} = 8$ . الانحرافات المطلقة: $|4-8|=4$ , $|6-8|=2$ , $|8-8|=0$ , $|10-8|=2$ , $|12-8|=4$ .

\text{الانحراف المتوسط} = \frac{4+2+0+2+4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4

مثال 3: أوجد التباين والانحراف المعياري للبيانات: $2, 4, 6, 8$ .

الحل: $\bar{x} = \frac{2+4+6+8}{4} = \frac{20}{4} = 5$ . مربعات الانحرافات: $(2-5)^2=9$ , $(4-5)^2=1$ , $(6-5)^2=1$ , $(8-5)^2=9$ .

\sigma^2 = \frac{9+1+1+9}{4} = \frac{20}{4} = 5

\sigma = \sqrt{5} \approx 2.24

مثال 4: مجموعتان من الدرجات: الأولى $48, 50, 52$ والثانية $30, 50, 70$ . قارن بين تجانس المجموعتين.

الحل: الوسط الحسابي لكل منهما $50$ .

للمجموعة الأولى:

\sigma_1 = \sqrt{\frac{(48-50)^2 + (50-50)^2 + (52-50)^2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1.63

وللمجموعة الثانية:

\sigma_2 = \sqrt{\frac{(30-50)^2 + (50-50)^2 + (70-50)^2}{3}} = \sqrt{\frac{800}{3}} \approx 16.33

المجموعة الأولى أكثر تجانسًا لأن انحرافها المعياري أصغر بكثير، رغم تساوي الوسطين.

ملاحظات مهمة

مجموع الانحرافات $(x_i - \bar{x})$ عن الوسط الحسابي يساوي صفرًا دائمًا، ولهذا نأخذ القيم المطلقة للانحرافات أو مربعاتها.
الانحراف المعياري لا يكون سالبًا أبدًا، ويساوي صفرًا فقط عندما تتساوى جميع القيم.
احرص على حساب الوسط الحسابي بدقة أولًا، لأن أي خطأ فيه ينتقل إلى جميع الانحرافات.

المفاهيم الأساسية

مقاييس التشتت تصف مدى تقارب أو تباعد البيانات عن الوسط، وتُكمِّل مقاييس النزعة المركزية.
المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة؛ أبسط المقاييس وأكثرها تأثرًا بالقيم الشاذة.
الانحراف المتوسط $= \frac{\sum|x_i-\bar{x}|}{n}$ .
التباين $\sigma^2 = \frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n}$ ، والانحراف المعياري $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$ .
صغر الانحراف المعياري يدل على تجانس البيانات، وكِبَره يدل على تشتتها.

ملخص الدرس

تصف مقاييس التشتت مدى تقارب القيم أو تباعدها حول وسطها، فتكمل مقاييس النزعة المركزية. المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة، وهو سهل لكنه يتأثر بالقيم الشاذة. والانحراف المتوسط هو متوسط القيم المطلقة لانحرافات القيم عن الوسط الحسابي. والتباين هو متوسط مربعات هذه الانحرافات، وجذره التربيعي هو الانحراف المعياري، وكلما صغر الانحراف المعياري كانت البيانات أكثر تجانسًا.

أسئلة للتدريب

أوجد المدى والانحراف المتوسط للبيانات: $3, 5, 5, 7, 10$ .
أوجد التباين والانحراف المعياري للقيم: $1, 3, 5, 7, 9$ .
مجموعتان من البيانات لهما نفس الوسط الحسابي، لكن الانحراف المعياري للمجموعة الأولى $1.2$ وللثانية $5.6$ . أيهما أكثر تجانسًا؟ ولماذا؟
بيانات عدد ساعات المذاكرة اليومية لخمسة طلاب: $2, 3, 3, 4, 8$ . احسب الوسط الحسابي ثم الانحراف المعياري، وفسّر القيمة الناتجة.