ملخص النسب المثلثية الأساسية للزاوية الحادة — ثالثة إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة الرابعة: حساب المثلثات

يستطيع المهندس أن يحسب ارتفاع مبنى أو عرض نهر دون أن يقيسه مباشرة، إذا عرف زاوية وطولًا واحدًا. تعتمد هذه الحسابات على نسب ثابتة بين أضلاع المثلث القائم الزاوية تسمى النسب المثلثية، وهي موضوع هذا الدرس.

أهداف التعلم

أن يحدد الطالب أضلاع المثلث القائم الزاوية بالنسبة إلى زاوية حادة معينة (المقابل، المجاور، الوتر).
أن يعرّف الطالب النسب المثلثية الثلاث: الجيب وجيب التمام والظل لزاوية حادة.
أن يحسب الطالب النسب المثلثية لزاوية حادة في مثلث قائم الزاوية معلوم الأضلاع.
أن يستنتج الطالب العلاقات الأساسية بين النسب المثلثية ويستخدمها.

شرح الدرس

أضلاع المثلث القائم الزاوية بالنسبة لزاوية حادة

في المثلث القائم الزاوية، بالنسبة لإحدى الزاويتين الحادتين (لتكن $\theta$ ):

الوتر (Hypotenuse): الضلع المقابل للزاوية القائمة، وهو أطول أضلاع المثلث دائمًا.
الضلع المقابل (Opposite): الضلع المواجه للزاوية $\theta$ نفسها (لا يُلامسها).
الضلع المجاور (Adjacent): الضلع الذي يُلامس الزاوية $\theta$ (غير الوتر).

مثلث قائم الزاوية في B: الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة، والمقابل والمجاور بالنسبة للزاوية θ عند A، وبجانبه تعريف sin وcos وtan

تعريف النسب المثلثية الأساسية الثلاث

لزاوية حادة $\theta$ في مثلث قائم الزاوية، تُعرَّف النسب المثلثية الثلاث الأساسية كالتالي:

\sin \theta = \frac{\text{طول الضلع المقابل}}{\text{طول الوتر}}

\cos \theta = \frac{\text{طول الضلع المجاور}}{\text{طول الوتر}}

\tan \theta = \frac{\text{طول الضلع المقابل}}{\text{طول الضلع المجاور}}

وتُقرأ $\sin$ “جيب”، و $\cos$ “جيب تمام”، و $\tan$ “ظل”.

النسب المثلثية المقلوبة (للاطلاع)

يقابل كل نسبة من النسب السابقة نسبة مقلوبة لها:

\text{قاطع التمام (cosec)} \ \theta = \frac{1}{\sin \theta} \ , \quad \text{القاطع (sec)} \ \theta = \frac{1}{\cos \theta} \ , \quad \text{ظل التمام (cot)} \ \theta = \frac{1}{\tan \theta}

العلاقة بين الظل والجيب وجيب التمام

من التعريفات السابقة يمكن استنتاج أن:

\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

وذلك لأن $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{المقابل}/\text{الوتر}}{\text{المجاور}/\text{الوتر}} = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \tan\theta$ .

متطابقة فيثاغورس الأساسية

باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلث القائم الزاوية (مربع الوتر = مجموع مربعي الضلعين الآخرين)، يمكن إثبات المتطابقة المثلثية الأساسية التي تصح لأي زاوية حادة $\theta$ :

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

أثر تغيير الزاوية الحادة المرجعية

إذا بدّلنا الزاوية الحادة المرجعية إلى الزاوية الحادة الأخرى في نفس المثلث القائم، يتبادل الضلعان المقابل والمجاور أدوارهما، ولذلك يكون جيب إحدى الزاويتين الحادتين مساويًا لجيب تمام الزاوية الحادة الأخرى (لأن مجموعهما $90°$ ):

\sin \theta = \cos(90° - \theta) \qquad , \qquad \cos \theta = \sin(90° - \theta)

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: مثلث $ABC$ قائم الزاوية في $B$ ، فيه $AB=3$ ، $BC=4$ ، $AC=5$ . أوجد $\sin A$ ، $\cos A$ ، $\tan A$ .

الحل: بالنسبة للزاوية $A$ : المقابل $= BC = 4$ ، المجاور $= AB = 3$ ، الوتر $= AC = 5$ .

\sin A = \frac{4}{5} \ , \quad \cos A = \frac{3}{5} \ , \quad \tan A = \frac{4}{3}

مثال 2: في المثلث السابق، تحقق من صحة المتطابقة $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ .

الحل:

\sin^2 A + \cos^2 A = \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1 \checkmark

مثال 3: إذا كان $\sin \theta = \frac{5}{13}$ لزاوية حادة $\theta$ ، أوجد $\cos \theta$ و $\tan \theta$ .

الحل: من $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ :

\cos^2\theta = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \implies \cos\theta = \frac{12}{13}

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}

مثال 4: مثلث $ABC$ قائم الزاوية في $C$ ، طول وتره $AB = 20$ سم، و $\sin A = \frac{3}{5}$ . أوجد طولي الضلعين الآخرين ثم $\tan A$ .

الحل: الضلع المقابل للزاوية $A$ هو $BC$ :

\frac{BC}{20} = \frac{3}{5} \Longrightarrow BC = 12 \text{ سم}

وبنظرية فيثاغورس:

AC = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \text{ سم}

\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}

ملاحظات مهمة

النسب المثلثية لزاوية معينة لا تتغير بتغير حجم المثلث القائم؛ فكل المثلثات القائمة التي فيها الزاوية نفسها متشابهة، ونسب أضلاعها ثابتة.
جيب الزاوية الحادة وجيب تمامها عددان بين $0$ و $1$ لأن الوتر أطول الأضلاع، أما الظل فقد يكون أكبر من $1$ .
الكتابة $\sin^2\theta$ تعني $(\sin\theta)^2$ ، وليست جيب مربع الزاوية.
الضلعان المقابل والمجاور يتحددان حسب الزاوية المدروسة، فحدد الزاوية أولًا قبل تسمية الأضلاع.

المفاهيم الأساسية

في المثلث القائم الزاوية: الوتر أطول الأضلاع، والمقابل والمجاور يتحددان بالنسبة للزاوية الحادة المدروسة.
$\sin\theta = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}}$ ، $\cos\theta = \frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}}$ ، $\tan\theta = \frac{\text{مقابل}}{\text{مجاور}}$ .
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ .
المتطابقة الأساسية: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ .
$\sin\theta = \cos(90°-\theta)$ و $\cos\theta = \sin(90°-\theta)$ .

ملخص الدرس

في المثلث القائم الزاوية نحدد الضلع المقابل والضلع المجاور بالنسبة إلى الزاوية الحادة المدروسة، أما الوتر فيقابل الزاوية القائمة. جيب الزاوية هو المقابل على الوتر، وجيب تمامها هو المجاور على الوتر، وظلها هو المقابل على المجاور. ومن التعريفات نستنتج أن الظل يساوي الجيب على جيب التمام، وأن مجموع مربعي الجيب وجيب التمام يساوي $1$ ، وأن جيب زاوية يساوي جيب تمام الزاوية المتممة لها.

أسئلة للتدريب

مثلث $XYZ$ قائم الزاوية في $Y$ ، فيه $XY=6$ ، $YZ=8$ ، $XZ=10$ . أوجد $\sin Z$ ، $\cos Z$ ، $\tan Z$ .
إذا كان $\cos\theta = \frac{7}{25}$ لزاوية حادة $\theta$ ، أوجد $\sin\theta$ و $\tan\theta$ .
بيّن أن $\sin 40° = \cos 50°$ مستخدمًا العلاقة بين النسب المثلثية للزاويتين المتتامتين.
إذا كان $\tan\theta = \frac{3}{4}$ ، أوجد $\sin\theta$ و $\cos\theta$ (استعن برسم مثلث قائم الزاوية مناسب).