ملخص ميل الخط المستقيم — ثالثة إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة الخامسة: الهندسة التحليلية

الطرق الصاعدة والمنحدرات وأسطح المنازل المائلة تختلف في درجة انحدارها. في الهندسة التحليلية نعبر عن انحدار المستقيم بعدد واحد يسمى الميل، نحسبه من إحداثيي أي نقطتين عليه، ونستخدمه لمعرفة اتجاه المستقيم وعلاقته بمستقيمات أخرى.

أهداف التعلم

أن يعرّف الطالب ميل الخط المستقيم ويحسبه من إحداثيي نقطتين عليه.
أن يميز الطالب ميل المستقيم الأفقي (يساوي صفرًا) وميل المستقيم الرأسي (غير معرّف).
أن يستخدم الطالب الميل للتحقق من استقامة ثلاث نقاط.
أن يطبق الطالب علاقتي توازي المستقيمين وتعامدهما بدلالة الميل.

شرح الدرس

تعريف ميل الخط المستقيم

ميل الخط المستقيم (ويُرمز له عادة بالحرف $m$ ) هو مقياس لمدى انحدار (ميل) المستقيم بالنسبة للمحور الأفقي، ويُعرَّف بأنه النسبة بين التغير في الإحداثي الصادي إلى التغير في الإحداثي السيني بين أي نقطتين مختلفتين على المستقيم.

إذا كانت $A(x_1, y_1)$ و $B(x_2, y_2)$ نقطتين مختلفتين على مستقيم، فإن ميل المستقيم يُحسب بالقانون:

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \ , \quad x_1 \neq x_2

ويكون ناتج هذا القانون ثابتًا مهما اخترنا من نقطتين على نفس المستقيم، لأن المستقيم له ميل واحد فقط في كل نقاطه.

مستقيم يمر بالنقطتين A وB: التغير الأفقي x₂ − x₁ والتغير الرأسي y₂ − y₁، والميل m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

الحالات الخاصة لميل المستقيم

المستقيم الأفقي (موازٍ لمحور السينات): جميع نقاطه لها نفس الإحداثي الصادي ( $y_1 = y_2$ )، فيكون:

m = \frac{0}{x_2 - x_1} = 0

المستقيم الرأسي (موازٍ لمحور الصادات): جميع نقاطه لها نفس الإحداثي السيني ( $x_1 = x_2$ )، فيكون المقام صفرًا، وبالتالي الميل غير معرّف (لا نهائي).

إشارة الميل واتجاه المستقيم

إذا كان $m \gt 0$ : يكون المستقيم صاعدًا (مائلًا لأعلى) كلما تحركنا من اليسار لليمين.
إذا كان $m \lt 0$ : يكون المستقيم هابطًا (مائلًا لأسفل) كلما تحركنا من اليسار لليمين.
كلما كبرت القيمة المطلقة للميل، زادت حدة انحدار المستقيم.

أربعة مستقيمات: الميل الموجب لمستقيم صاعد، والميل السالب لمستقيم هابط، والميل صفر لمستقيم أفقي، والمستقيم الرأسي ميله غير معرّف

استخدام الميل للتحقق من استقامة ثلاث نقاط

تكون ثلاث نقاط $A$ , $B$ , $C$ واقعة على استقامة واحدة إذا وفقط إذا كان ميل $AB$ = ميل $BC$ (= ميل $AC$ )، أي أن جميع الأزواج من النقاط تعطي نفس الميل.

توازي المستقيمين وتعامدهما بدلالة الميل

المستقيمان المتوازيان لهما الميل نفسه: وإذا تساوى ميلا مستقيمين مختلفين فهما متوازيان.
المستقيمان المتعامدان يكون حاصل ضرب ميليهما يساوي $-1$ :

m_1 \times m_2 = -1 \quad \left( \text{أي} \ m_2 = -\frac{1}{m_1} \right)

مستقيمان متوازيان لهما الميل نفسه m₁ = m₂، ومستقيمان متعامدان حاصل ضرب ميليهما m₁ × m₂ = −1

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين $A(1,2)$ ، $B(5,10)$ .

الحل:

m = \frac{10-2}{5-1} = \frac{8}{4} = 2

مثال 2: تحقق مما إذا كانت النقاط $A(1,1)$ ، $B(2,3)$ ، $C(4,7)$ واقعة على استقامة واحدة.

الحل:

m_{AB} = \frac{3-1}{2-1} = 2 \qquad , \qquad m_{BC} = \frac{7-3}{4-2} = \frac{4}{2} = 2

بما أن $m_{AB} = m_{BC} = 2$ ، فإن النقاط الثلاث واقعة على استقامة واحدة.

مثال 3: إذا كان المستقيم $L_1$ يمر بالنقطتين $(0,1)$ ، $(2,5)$ ، والمستقيم $L_2$ يمر بالنقطتين $(1,0)$ ، $(3,4)$ ، بيّن أن $L_1 \parallel L_2$ .

الحل:

m_{L_1} = \frac{5-1}{2-0} = \frac{4}{2} = 2 \qquad , \qquad m_{L_2} = \frac{4-0}{3-1} = \frac{4}{2} = 2

بما أن $m_{L_1} = m_{L_2} = 2$ ، فإن $L_1 \parallel L_2$ .

مثال 4: إذا كان ميل مستقيم $m_1 = \frac{3}{4}$ ، أوجد ميل المستقيم العمودي عليه.

الحل:

m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{3/4} = -\frac{4}{3}

مثال 5: المستقيم $L_1$ يمر بالنقطتين $A(1, 2)$ و $B(3, 6)$ ، والمستقيم $L_2$ يمر بالنقطتين $C(0, 5)$ و $D(4, 3)$ . هل المستقيمان متعامدان؟

الحل:

m_{L_1} = \frac{6 - 2}{3 - 1} = 2, \qquad m_{L_2} = \frac{3 - 5}{4 - 0} = -\frac{1}{2}

m_{L_1} \times m_{L_2} = 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1

إذن المستقيمان متعامدان.

ملاحظات مهمة

عند حساب الميل التزم بترتيب واحد في البسط والمقام: إذا بدأت في البسط بالنقطة $B$ فابدأ بها في المقام أيضًا.
شرط التعامد $m_1 \times m_2 = -1$ لا يُطبق على مستقيم أفقي مع مستقيم رأسي، لأن ميل الرأسي غير معرف، مع أنهما متعامدان.

المفاهيم الأساسية

ميل المستقيم المار بنقطتين $A(x_1,y_1)$ ، $B(x_2,y_2)$ هو $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ ، $x_1 \neq x_2$ .
ميل المستقيم الأفقي يساوي صفرًا؛ ميل المستقيم الرأسي غير معرّف.
$m\gt 0$ يعني مستقيمًا صاعدًا، $m\lt 0$ يعني مستقيمًا هابطًا.
ثلاث نقاط تقع على استقامة واحدة إذا تساوت الميول بين كل زوج منها.
مستقيمان متوازيان $\iff m_1=m_2$ ؛ ومتعامدان $\iff m_1 \times m_2 = -1$ .

ملخص الدرس

ميل المستقيم هو النسبة بين التغير في الإحداثي الصادي والتغير في الإحداثي السيني بين أي نقطتين عليه، وهو ثابت لكل نقاط المستقيم. ميل المستقيم الأفقي صفر، وميل المستقيم الرأسي غير معرف، والميل الموجب يعني مستقيمًا صاعدًا والسالب مستقيمًا هابطًا. وتقع ثلاث نقاط على استقامة واحدة إذا تساوت الميول بينها، والمستقيمان المتوازيان متساويا الميل، والمتعامدان حاصل ضرب ميليهما $-1$ .

أسئلة للتدريب

أوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين $(-2, 3)$ ، $(4, -5)$ .
أوجد قيمة $k$ التي تجعل النقاط $(1,2)$ ، $(3,k)$ ، $(5,10)$ واقعة على استقامة واحدة.
إذا كان ميل $AB = -\frac{2}{5}$ ، أوجد ميل المستقيم العمودي على $AB$ .
بيّن أن الشكل الرباعي رؤوسه $A(0,0)$ ، $B(4,0)$ ، $C(5,3)$ ، $D(1,3)$ متوازي أضلاع باستخدام مفهوم الميل (تحقق من توازي الأضلاع المتقابلة).
بيّن هل المستقيم المار بالنقطتين $(2, 1)$ و $(6, 3)$ يعامد المستقيم المار بالنقطتين $(0, 4)$ و $(1, 2)$ .