الثانوية العامة 2026الاستعلام عن النتيجةاعرف الكليات المناسبة لمجموعكتنسيق 2026
ذاكر مصر

الرياضيات · الصف الثالث الإعدادي · الترم الأول

النسب المثلثية الأساسية لبعض الزوايا

استنتاج القيم الدقيقة للنسب المثلثية (جيب وجيب تمام وظل) للزوايا الخاصة 30° و45° و60° باستخدام المثلثات الهندسية المعروفة.

آخر تحديث: · كيف نراجع المحتوى

مقدمة

  • الوحدة: الوحدة الرابعة: حساب المثلثات

تعلمت في الدرس السابق تعريف النسب المثلثية لزاوية حادة. بعض الزوايا مثل 30°30° و 45°45° و 60°60° تتكرر كثيرًا في المسائل والتطبيقات، ويمكن إيجاد نسبها المثلثية بدقة تامة دون آلة حاسبة، اعتمادًا على مثلثات خاصة ونظرية فيثاغورس.

أهداف التعلم

  • أن يستنتج الطالب النسب المثلثية للزاوية 45°45° باستخدام المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين.
  • أن يستنتج الطالب النسب المثلثية للزاويتين 30°,60°30°, 60° باستخدام المثلث متساوي الأضلاع.
  • أن يحفظ الطالب جدول القيم الدقيقة لهذه الزوايا ويستخدمه في حل المسائل دون آلة حاسبة.
  • أن يوظف الطالب هذه القيم في حساب أطوال أو زوايا مجهولة في مسائل هندسية.

شرح الدرس

استنتاج نسب الزاوية 45°45°

نأخذ مثلثًا قائم الزاوية متساوي الساقين، طول كل من ساقيه (ضلعي القائمة) وحدة واحدة. بما أن الزاويتين الحادتين متساويتان (لأن الساقين متساويان) ومجموعهما 90°90°، فإن كل زاوية تساوي 45°45°. وبتطبيق نظرية فيثاغورس، يكون طول الوتر:

الوتر=12+12=2\text{الوتر} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}

وبالنسبة للزاوية 45°45°: المقابل =1=1، المجاور =1=1، الوتر =2=\sqrt{2}:

sin⁡45°=12=22 ,cos⁡45°=12=22 ,tan⁡45°=11=1\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \ , \quad \cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \ , \quad \tan 45° = \frac{1}{1} = 1

استنتاج نسب الزاويتين 30°30° و 60°60°

نأخذ مثلثًا متساوي الأضلاع طول ضلعه وحدتان، فتكون كل زاوية فيه 60°60°. برسم ارتفاع من أحد رؤوسه إلى الضلع المقابل، ينقسم المثلث إلى مثلثين قائمي الزاوية متطابقين، كل منهما فيه:

  • القاعدة (نصف ضلع المثلث الأصلي) =1=1
  • الوتر (ضلع المثلث الأصلي) =2=2
  • الارتفاع (بتطبيق فيثاغورس): h=22−12=3h = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}

ويكون في كل مثلث قائم ناتج زاويتان حادتان: 60°60° عند القاعدة (لم تتغير)، و 30°30° عند الرأس (نصف الزاوية الأصلية 60°60°، لأن الارتفاع في المثلث المتساوي الأضلاع ينصف زاوية الرأس).

بالنسبة للزاوية 60°60°: المقابل =3=\sqrt{3}، المجاور =1=1، الوتر =2=2:

sin⁡60°=32 ,cos⁡60°=12 ,tan⁡60°=3\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \ , \quad \cos 60° = \frac{1}{2} \ , \quad \tan 60° = \sqrt{3}

بالنسبة للزاوية 30°30°: المقابل =1=1، المجاور =3=\sqrt{3}، الوتر =2=2:

sin⁡30°=12 ,cos⁡30°=32 ,tan⁡30°=13=33\sin 30° = \frac{1}{2} \ , \quad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \ , \quad \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}

مثلثان قائمان خاصان: نصف مربع ضلعه 1 زاويتاه الحادتان 45° وأضلاعه 1 و1 و√2، ونصف مثلث متساوي الأضلاع ضلعه 2 زاويتاه 30° و60° وأضلاعه 1 و√3 و2

جدول القيم الدقيقة للزوايا الخاصة

الزاوية θ\theta30°30°45°45°60°60°
sin⁡θ\sin\theta12\frac{1}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}32\frac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡θ\cos\theta32\frac{\sqrt{3}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}12\frac{1}{2}
tan⁡θ\tan\theta33\frac{\sqrt{3}}{3}113\sqrt{3}

يلاحظ من الجدول أن sin⁡30°=cos⁡60°\sin 30° = \cos 60° و cos⁡30°=sin⁡60°\cos 30° = \sin 60°، وذلك لأن الزاويتين 30°,60°30°, 60° متتامتان (مجموعهما 90°90°)، بما يتفق مع العلاقة العامة sin⁡θ=cos⁡(90°−θ)\sin\theta = \cos(90°-\theta).

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد قيمة sin⁡30°+cos⁡60°\sin 30° + \cos 60°.

الحل:

sin⁡30°+cos⁡60°=12+12=1\sin30° + \cos60° = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

مثال 2: أوجد قيمة tan⁡45°×sin⁡60°\tan 45° \times \sin 60°.

الحل:

tan⁡45°×sin⁡60°=1×32=32\tan45° \times \sin60° = 1 \times \frac{\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3}{2}

مثال 3: بيّن أن sin⁡260°+cos⁡260°=1\sin^2 60° + \cos^2 60° = 1.

الحل:

sin⁡260°+cos⁡260°=(32)2+(12)2=34+14=1✓\sin^2 60° + \cos^2 60° = \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1 \checkmark

مثال 4: في مثلث قائم الزاوية، إحدى زواياه الحادة 30°30° ووتره 1010 سم. أوجد طول الضلع المقابل لهذه الزاوية.

الحل: بما أن sin⁡30°=مقابلوتر\sin 30° = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}}:

12=مقابل10  ⟹  مقابل=10×12=5 سم\frac{1}{2} = \frac{\text{مقابل}}{10} \implies \text{مقابل} = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \text{ سم}

مثال 5: سلم طوله 66 أمتار يستند إلى حائط رأسي، ويصنع مع الأرض الأفقية زاوية قياسها 60°60°. أوجد ارتفاع الموضع الذي يصل إليه السلم على الحائط، وبعد قاعدة السلم عن الحائط.

الحل: السلم هو الوتر، والارتفاع هو الضلع المقابل للزاوية 60°60°، والبعد عن الحائط هو الضلع المجاور لها:

الارتفاع=6sin⁡60°=6×32=33≈5.2 م\text{الارتفاع} = 6 \sin 60° = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.2 \text{ م} البعد عن الحائط=6cos⁡60°=6×12=3 م\text{البعد عن الحائط} = 6 \cos 60° = 6 \times \frac{1}{2} = 3 \text{ م}

مثال 6: أوجد قياس الزاوية الحادة θ\theta إذا كان 2sin⁡θ=12\sin\theta = 1.

الحل: sin⁡θ=12\sin\theta = \frac{1}{2}، ومن جدول القيم الخاصة sin⁡30°=12\sin 30° = \frac{1}{2}، إذن θ=30°\theta = 30°.

ملاحظات مهمة

  • لتذكر قيم الجيب للزوايا 30°30° و 45°45° و 60°60° لاحظ أنها 12\frac{\sqrt{1}}{2} و 22\frac{\sqrt{2}}{2} و 32\frac{\sqrt{3}}{2} على الترتيب، وأن قيم جيب التمام هي القيم نفسها بترتيب معكوس.
  • يمكن التحقق من أي قيمة للظل بقسمة الجيب على جيب التمام؛ فمثلًا tan⁡60°=3/21/2=3\tan 60° = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}.

المفاهيم الأساسية

  • الزاوية 45°45° تُستنتج من المثلث القائم متساوي الساقين، وقيمها: sin⁡45°=cos⁡45°=22\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt2}{2}، tan⁡45°=1\tan45°=1.
  • الزاويتان 30°,60°30°, 60° تُستنتجان من تنصيف المثلث متساوي الأضلاع بارتفاع.
  • sin⁡30°=cos⁡60°=12\sin30°=\cos60°=\frac12، cos⁡30°=sin⁡60°=32\cos30°=\sin60°=\frac{\sqrt3}{2}، tan⁡30°=33\tan30°=\frac{\sqrt3}{3}، tan⁡60°=3\tan60°=\sqrt3.
  • كلما زادت الزاوية الحادة من 30°30° إلى 60°60° يزداد جيبها ويقل جيب تمامها.
  • يجب حفظ جدول القيم الدقيقة لهذه الزوايا لاستخدامه في حل المسائل مباشرة.

ملخص الدرس

نستنتج النسب المثلثية للزاوية 45°45° من مثلث قائم متساوي الساقين، فيكون جيبها وجيب تمامها 22\frac{\sqrt{2}}{2} وظلها 11. ونستنتج نسب الزاويتين 30°30° و 60°60° بتنصيف مثلث متساوي الأضلاع بارتفاع، فيكون sin⁡30°=cos⁡60°=12\sin 30° = \cos 60° = \frac{1}{2} و sin⁡60°=cos⁡30°=32\sin 60° = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}، و tan⁡30°=33\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3} و tan⁡60°=3\tan 60° = \sqrt{3}. وتُستخدم هذه القيم الدقيقة في حساب الأطوال المجهولة وتبسيط المقادير المثلثية.

أسئلة للتدريب

  • أوجد قيمة cos⁡30°−sin⁡60°\cos 30° - \sin 60° بدون استخدام الآلة الحاسبة.
  • احسب قيمة 2sin⁡45°×cos⁡45°2\sin 45° \times \cos 45° ثم بسّط الناتج.
  • في مثلث قائم الزاوية، إحدى زواياه الحادة 60°60° والضلع المجاور لها طوله 44 سم، أوجد طول الوتر وطول الضلع المقابل.
  • بيّن أن tan⁡30°×tan⁡60°=1\tan 30° \times \tan 60° = 1.
حلّ أسئلة هذا الدرساختبر فهمك بأسئلة اختيار من متعدد وأسئلة مقالية مع نموذج إجابة، أو خض اختبارًا تفاعليًا سريعًا
أبلغ عن خطأ في هذا الدرس