أسئلة: النسب المثلثية الأساسية لبعض الزوايا

الإجابة الصحيحة: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

من استنتاج نسب الزاوية $45°$، قيمة $\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $1$

من استنتاج نسب الزاوية $45°$، قيمة $\tan 45° = \frac{1}{1} = 1$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{2}$

من استنتاج نسب الزاويتين $30°$ و $60°$، قيمة $\sin 30° = \frac{1}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{2}$

من استنتاج نسب الزاويتين $30°$ و $60°$، قيمة $\cos 60° = \frac{1}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $\sqrt{3}$

من استنتاج نسب الزاويتين $30°$ و $60°$، قيمة $\tan 60° = \sqrt{3}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

من استنتاج نسب الزاويتين $30°$ و $60°$، قيمة $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $1$

$\sin 30° = \frac{1}{2}$ و $\cos 60° = \frac{1}{2}$. إذن، $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan 45° = 1$ و $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. إذن، $1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $\sin A = \cos B$

لأن الزاويتين متتامتين، $A+B=90°$، وبالتالي $\sin A = \cos(90°-A) = \cos B$.

الإجابة الصحيحة: $1$

المتطابقة الأساسية في حساب المثلثات هي $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ لأي زاوية $\theta$.

الإجابة الصحيحة: $6$ سم

$\sin 30° = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}}$. إذن، $\frac{1}{2} = \frac{\text{المقابل}}{12} \implies \text{المقابل} = 12 \times \frac{1}{2} = 6$ سم.

الإجابة الصحيحة: $4$ سم

$\cos 60° = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}}$. إذن، $\frac{1}{2} = \frac{\text{المجاور}}{8} \implies \text{المجاور} = 8 \times \frac{1}{2} = 4$ سم.

نأخذ مثلثًا قائم الزاوية متساوي الساقين، طول كل ساق $1$ وحدة. الزاويتان الحادتان متساويتان وكل منهما $45°$. بتطبيق نظرية فيثاغورس، الوتر $=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. إذن، $\sin 45° = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $\cos 45° = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $\tan 45° = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{1}{1} = 1$.

نأخذ مثلثًا متساوي الأضلاع طول ضلعه $2$ وحدة، فتكون كل زاوية فيه $60°$. برسم ارتفاع من أحد رؤوسه إلى الضلع المقابل، ينقسم المثلث إلى مثلثين قائمي الزاوية متطابقين. في كل مثلث قائم: * القاعدة (نصف ضلع المثلث الأصلي) $=1$. * الوتر (ضلع المثلث الأصلي) $=2$. * الارتفاع (بتطبيق فيثاغورس) $h = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$. الزوايا في المثلث القائم هي $90°$, $60°$ (عند القاعدة), و $30°$ (نصف زاوية الرأس الأصلية). **للـ $60°$:** المقابل $=\sqrt{3}$، المجاور $=1$، الوتر $=2$. $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 60° = \frac{1}{2}$, $\tan 60° = \sqrt{3}$. **للـ $30°$:** المقابل $=1$، المجاور $=\sqrt{3}$، الوتر $=2$. $\sin 30° = \frac{1}{2}$, $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$2\sin 45° \times \cos 45° = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \times \frac{2}{4} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.

نعلم أن $\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$ و $\tan 60° = \sqrt{3}$. إذن، $\tan 30° \times \tan 60° = \frac{\sqrt{3}}{3} \times \sqrt{3} = \frac{3}{3} = 1$. وهو المطلوب إثباته.

بما أن $\cos 60° = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}}$: $\frac{1}{2} = \frac{4}{\text{الوتر}} \implies \text{الوتر} = 4 \times 2 = 8$ سم. وبما أن $\tan 60° = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}}$: $\sqrt{3} = \frac{\text{المقابل}}{4} \implies \text{المقابل} = 4\sqrt{3}$ سم.

$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $\cos 60° = \frac{1}{2}$, $\sin 30° = \frac{1}{2}$. إذن، $\sin 60° \cos 30° + \cos 60° \sin 30° = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right)$ $= \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.