أسئلة: البعد بين نقطتين

الإجابة الصحيحة: 5

باستخدام قانون البعد: $\sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

الإجابة الصحيحة: 5

المسافة = $\sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

الإجابة الصحيحة: 5

المسافة = $\sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

الإجابة الصحيحة: 5

بما أن الإحداثي الصادي متساوٍ، فالطول هو القيمة المطلقة للفرق بين الإحداثيين السينيين: $|7 - 2| = 5$.

الإجابة الصحيحة: 8

بما أن الإحداثي السيني متساوٍ، فالطول هو القيمة المطلقة للفرق بين الإحداثيين الصاديين: $|9 - 1| = 8$.

الإجابة الصحيحة: 5

من المعادلة $(x-2)^2 + (3 - (-1))^2 = 5^2 \implies (x-2)^2 + 16 = 25 \implies (x-2)^2 = 9 \implies x-2 = \pm 3$، إذن $x = 5$ أو $x = -1$.

الإجابة الصحيحة: 3

$k^2 + 4^2 = 5^2 \implies k^2 + 16 = 25 \implies k^2 = 9 \implies k = \pm 3$. القيمة الموجبة هي $3$.

الإجابة الصحيحة: قائم الزاوية

أطوال الأضلاع هي $AB = 3$، $AC = 5$، $BC = 4$. وبما أن $3^2 + 4^2 = 5^2$ ($AB^2 + BC^2 = AC^2$)، فالمثلث قائم الزاوية.

الإجابة الصحيحة: (3, 4)

بحساب البعد لنقطة الأصل: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

الإجابة الصحيحة: 5

المسافة = $\sqrt{(2 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

الإجابة الصحيحة: 3، 4، 5

تحقق نظرية فيثاغورس: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

الإجابة الصحيحة: $\pm 6$

$\sqrt{(0-a)^2 + (0-0)^2} = |a| = 6 \implies a = 6$ أو $a = -6$.

نطبق قانون البعد بين نقطتين: $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ $AB = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (5 - 2)^2}$ $AB = \sqrt{(3 + 1)^2 + (3)^2}$ $AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ وحدات.

نحسب أطوال الأضلاع الأربعة باستخدام قانون البعد: - $AB = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ - $BC = \sqrt{(4-2)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ - $CD = \sqrt{(2-4)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ - $DA = \sqrt{(0-2)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ بما أن $AB = BC = CD = DA = 2\sqrt{2}$، إذن أطوال الأضلاع متساوية، وتكون النقاط رؤوس معين.

نطبق قانون البعد ونساوي الناتج بـ $5$: $5 = \sqrt{(x - 2)^2 + (3 - (-1))^2}$ $5 = \sqrt{(x - 2)^2 + (3 + 1)^2}$ $5 = \sqrt{(x - 2)^2 + 4^2}$ بتربيع الطرفين: $25 = (x - 2)^2 + 16$ $(x - 2)^2 = 25 - 16 = 9$ بأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $x - 2 = \pm 3$ - الحالة الأولى: $x - 2 = 3 \implies x = 5$ - الحالة الثانية: $x - 2 = -3 \implies x = -1$ إذن قيمتا $x$ الممكنتان هما $5$ أو $-1$.

نحسب أطوال أضلاع المثلث الثلاثة: - $XY = \sqrt{(5 - 1)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 0} = 4$ - $XZ = \sqrt{(3 - 1)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ - $YZ = \sqrt{(3 - 5)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ بما أن $XZ = YZ = \sqrt{13}$ (طولان متساويان)، إذن المثلث متساوي الساقين.

بما أن النقطة تقع على محور السينات، فإن إحداثيها الصادي يساوي صفراً، ولتكن النقطة $(x, 0)$. نطبق قانون البعد بين $(x, 0)$ و $(3, 4)$ ونساوي النتيجة بـ $5$: $5 = \sqrt{(3 - x)^2 + (4 - 0)^2}$ $5 = \sqrt{(3 - x)^2 + 16}$ بتربيع الطرفين: $25 = (3 - x)^2 + 16$ $(3 - x)^2 = 9$ $3 - x = \pm 3$ - إذا كان $3 - x = 3 \implies x = 0$ (تكون النقطة $(0, 0)$). - إذا كان $3 - x = -3 \implies x = 6$ (تكون النقطة $(6, 0)$). إذن النقطتان الممكنتان هما $(0, 0)$ أو $(6, 0)$.