أسئلة: إحداثيا منتصف قطعة مستقيمة

الإجابة الصحيحة: $M(3, 4)$

نحسب إحداثيي المنتصف بتطبيق القانون: $x = \frac{1+5}{2} = 3$ و $y = \frac{2+6}{2} = 4$، إذن النقطة هي $(3, 4)$ السوداء.

الإجابة الصحيحة: $(-3, 4)$

باستخدام قانون إيجاد الطرف الآخر: $x_2 = 2(0) - 3 = -3$ و $y_2 = 2(0) - (-4) = 4$، إذن الطرف الآخر هو $(-3, 4)$.

الإجابة الصحيحة: $(2, 2)$

نحسب الإحداثي السيني: $\frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$، والإحداثي الصادي: $\frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$. إذن نقطة المنتصف هي $(2, 2)$.

الإجابة الصحيحة: $5$

نحسب الإحداثي الصادي للمنتصف: $b = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

الإجابة الصحيحة: $(-1, -1)$

مركز الدائرة يمثل نقطة منتصف القطر. باستخدام قانون الطرف الآخر: $x_2 = 2(2) - 5 = 4 - 5 = -1$ و $y_2 = 2(3) - 7 = 6 - 7 = -1$. إذن الطرف الآخر هو $(-1, -1)$.

الإجابة الصحيحة: $(3, 4)$

قطرا متوازي الأضلاع $AC$ و $BD$ ينصف كل منهما الآخر ولهما نفس نقطة المنتصف. منتصف $AC$ هو $\left(\frac{1+7}{2}, \frac{1+4}{2}\right) = (4, 2.5)$. منتصف $BD$ هو $\left(\frac{5+x}{2}, \frac{1+y}{2}\right) = (4, 2.5)$. بمساواة الإحداثيات السينية والصادية: $\frac{5+x}{2} = 4 \implies x = 3$ و $\frac{1+y}{2} = 2.5 \implies y = 4$. إذن $D(3, 4)$.

الإجابة الصحيحة: $(1, 2)$

نحسب المنتصف: $x = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$ و $y = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$. إذن النقطة هي $(1, 2)$.

الإجابة الصحيحة: $5$

نحسب الإحداثي السيني للمنتصف: $a = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

الإجابة الصحيحة: $(2, 1)$

مركز الدائرة هو منتصف القطر: $x = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$ و $y = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$. إذن المركز هو $(2, 1)$.

الإجابة الصحيحة: $8$

باستخدام قانون الطرف الآخر للصادات: $y_B = 2(5) - 2 = 10 - 2 = 8$.

الإجابة الصحيحة: $(2, 3)$

من خواص متوازي الأضلاع أن القطرين ينصف كل منهما الآخر، ولذلك فهما يترابطان في نفس نقطة المنتصف، إذن منتصف القطر $BD$ هو نفس منتصف القطر $AC$ أي $(2, 3)$.

الإجابة الصحيحة: $(-3, 4)$

بتطبيق قانون المنتصف مع نقطة الأصل: $x = \frac{0 + (-6)}{2} = -3$ و $y = \frac{0 + 8}{2} = 4$. إذن نقطة المنتصف هي $(-3, 4)$.

بتطبيق قانون إحداثيي منتصف القطعة المستقيمة: $x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$ $y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$ إذن إحداثيا نقطة المنتصف هما $M(2, 1)$.

نفرض أن إحداثيي النقطة $D$ هما $(x_2, y_2)$. باستخدام قانون إيجاد الطرف الآخر: $x_2 = 2x_m - x_1 = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$ $y_2 = 2y_m - y_1 = 2(-1) - 3 = -2 - 3 = -5$ إذن إحداثيا النقطة $D$ هما $(5, -5)$.

1. نجد منتصف القطر $AC$: $M_{AC} = \left(\frac{0+5}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = (2.5, 1)$ 2. نجد منتصف القطر $BD$: $M_{BD} = \left(\frac{4+1}{2}, \frac{0+2}{2}\right) = (2.5, 1)$ بما أن منتصف القطر $AC$ ينطبق على منتصف القطر $BD$ ($M_{AC} = M_{BD} = (2.5, 1)$)، إذن القطران ينصف كل منهما الآخر، وعليه فإن الشكل $ABCD$ متوازي أضلاع.

1. مركز الدائرة $M$ هو نقطة منتصف القطر $AB$: $M = \left(\frac{-3+5}{2}, \frac{2+(-4)}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{-2}{2}\right) = (1, -1)$ 2. لإيجاد طول نصف القطر $r$، نحسب المسافة بين المركز $M(1, -1)$ وأحد الطرفين $A(-3, 2)$ باستخدام قانون المسافة: $r = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ إذن مركز الدائرة هو $(1, -1)$ وطول نصف قطرها هو $5$ وحدات.

1. نجد نقطة منتصف الضلع $YZ$ وليكن اسمها $M$: $M = \left(\frac{6+4}{2}, \frac{3+7}{2}\right) = \left(\frac{10}{2}, \frac{10}{2}\right) = (5, 5)$ 2. طول المتوسط هو طول القطعة المستقيمة الواصلة بين الرأس $X(2, 1)$ ونقطة المنتصف $M(5, 5)$. نطبق قانون المسافة بين نقطتين: $XM = \sqrt{(5 - 2)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ إذن إحداثيا منتصف $YZ$ هما $(5, 5)$ وطول المتوسط هو $5$ وحدات.

باستخدام قانون إحداثيي المنتصف: 1. بالنسبة للإحداثي السيني: $\frac{x + 5}{2} = 2 \implies x + 5 = 4 \implies x = 4 - 5 = -1$ 2. بالنسبة للإحداثي الصادي: $\frac{1 + y}{2} = 3 \implies 1 + y = 6 \implies y = 6 - 1 = 5$ إذن قيمتا المجهولين هما $x = -1$ و $y = 5$.