ملخص إحداثيا منتصف قطعة مستقيمة — ثالثة إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة الخامسة: الهندسة التحليلية

بعد أن تعلمت حساب البعد بين نقطتين، نسأل: أين تقع النقطة التي تنصف المسافة بينهما تمامًا؟ يقدم هذا الدرس قانونًا بسيطًا لإيجاد إحداثيي منتصف أي قطعة مستقيمة، ويستخدمه في حل مسائل هندسية على المستوى الإحداثي.

أهداف التعلم

أن يستنتج الطالب قانون إحداثيي منتصف قطعة مستقيمة معلومة الطرفين.
أن يحسب الطالب إحداثيي منتصف قطعة مستقيمة بالتعويض المباشر في القانون.
أن يوجد الطالب إحداثيي أحد طرفي القطعة إذا عُلم المنتصف والطرف الآخر.
أن يستخدم الطالب مفهوم المنتصف في خواص الأشكال الهندسية (مثل قطري متوازي الأضلاع).

شرح الدرس

قانون إحداثيي منتصف القطعة المستقيمة

لتكن $A(x_1, y_1)$ و $B(x_2, y_2)$ طرفي قطعة مستقيمة، وليكن $M(x, y)$ منتصف $AB$ . إحداثيا نقطة المنتصف هما الوسط الحسابي لإحداثيي الطرفين المتناظرة:

x = \frac{x_1 + x_2}{2} \qquad , \qquad y = \frac{y_1 + y_2}{2}

أي أن:

M \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \ \frac{y_1+y_2}{2} \right)

فكرة الاشتقاق

إذا أسقطنا من النقاط $A$ و $M$ و $B$ أعمدة على محور السينات، فإن هذه الأعمدة المتوازية تقطع محور السينات بالنسبة نفسها التي تنقسم بها القطعة $AB$ ، أي بنسبة $1:1$ . فيقع مسقط $M$ في منتصف المسافة بين $x_1$ و $x_2$ على خط الأعداد، وهذا المنتصف هو $\frac{x_1 + x_2}{2}$ . وبالطريقة نفسها على محور الصادات نحصل على $y = \frac{y_1 + y_2}{2}$ .

القطعة AB بين A(x₁, y₁) وB(x₂, y₂) ومنتصفها M: إحداثيه السيني (x₁ + x₂) / 2 وإحداثيه الصادي (y₁ + y₂) / 2

إيجاد أحد الطرفين إذا عُلم المنتصف والطرف الآخر

إذا عُلم منتصف القطعة $M(x_m, y_m)$ وأحد طرفيها $A(x_1, y_1)$ ، يمكن إيجاد الطرف الآخر $B(x_2, y_2)$ من نفس القانون بحل المعادلتين:

x_2 = 2x_m - x_1 \qquad , \qquad y_2 = 2y_m - y_1

تطبيقات هندسية على المنتصف

قطرا متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر، أي أن لهما نفس نقطة المنتصف؛ يُستخدم هذا للتحقق من أن شكلًا رباعيًا معينًا متوازي أضلاع.
متوسط المثلث (وسيط الضلع): القطعة الواصلة بين رأس ومنتصف الضلع المقابل له، وتُستخدم إحداثيات المنتصف لإيجاد معادلته أو طوله.
إيجاد مركز دائرة إذا عُلم أن قطرًا فيها هو قطعة مستقيمة معلومة الطرفين.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد إحداثيي منتصف القطعة $AB$ حيث $A(2,3)$ ، $B(6,7)$ .

الحل:

x = \frac{2+6}{2} = 4 \qquad , \qquad y = \frac{3+7}{2} = 5

M(4, 5)

مثال 2: إذا كان منتصف القطعة $CD$ هو $M(1, -2)$ وكان $C(4, 3)$ ، أوجد إحداثيي $D$ .

الحل:

x_D = 2(1) - 4 = -2 \qquad , \qquad y_D = 2(-2) - 3 = -7

D(-2, -7)

مثال 3: تحقق من أن الشكل الرباعي $ABCD$ حيث $A(0,0)$ ، $B(4,0)$ ، $C(6,3)$ ، $D(2,3)$ متوازي أضلاع، باستخدام خاصية تناصف القطرين.

الحل: نجد منتصف القطر $AC$ :

M_{AC} = \left(\frac{0+6}{2}, \frac{0+3}{2}\right) = (3, 1.5)

ومنتصف القطر $BD$ :

M_{BD} = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{0+3}{2}\right) = (3, 1.5)

بما أن $M_{AC} = M_{BD}$ ، فإن القطرين ينصف كل منهما الآخر، إذن $ABCD$ متوازي أضلاع.

مثال 4: طرفا قطر في دائرة هما $A(-2, 5)$ و $B(4, -1)$ . أوجد إحداثيي مركز الدائرة وطول نصف قطرها.

الحل: المركز هو منتصف القطر:

M\left(\frac{-2 + 4}{2}, \frac{5 + (-1)}{2}\right) = M(1, 2)

ونصف القطر هو البعد بين المركز وأحد طرفي القطر:

MA = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}

مثال 5: إذا كانت النقطة $(2, -1)$ منتصف القطعة الواصلة بين $(a, 3)$ و $(5, b)$ ، أوجد قيمتي $a$ و $b$ .

الحل:

\frac{a + 5}{2} = 2 \Longrightarrow a = -1, \qquad \frac{3 + b}{2} = -1 \Longrightarrow b = -5

ملاحظات مهمة

في قانون المنتصف نجمع الإحداثيين ثم نقسم على $2$ ، بخلاف قانون البعد الذي نطرح فيه الإحداثيين.
يمكن التحقق من المنتصف بحساب بعده عن الطرفين؛ فالبعدان يجب أن يكونا متساويين.

المفاهيم الأساسية

منتصف القطعة $AB$ حيث $A(x_1,y_1)$ ، $B(x_2,y_2)$ هو $M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ .
إحداثيا المنتصف هما الوسط الحسابي للإحداثيات المتناظرة للطرفين.
يمكن إيجاد أحد الطرفين إذا عُلم المنتصف والطرف الآخر بحل معادلتي المنتصف.
قطرا متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الآخر (لهما نفس نقطة المنتصف).

ملخص الدرس

إحداثيا منتصف القطعة المستقيمة هما الوسط الحسابي للإحداثيين السينيين والوسط الحسابي للإحداثيين الصاديين لطرفيها. وإذا عُلم المنتصف وأحد الطرفين أمكن إيجاد الطرف الآخر من العلاقتين $x_2 = 2x_m - x_1$ و $y_2 = 2y_m - y_1$ . ويُستخدم القانون في التحقق من أن شكلًا رباعيًا متوازي أضلاع بتساوي منتصفي قطريه، وفي إيجاد مركز الدائرة من طرفي قطرها.

أسئلة للتدريب

أوجد إحداثيي منتصف القطعة $PQ$ حيث $P(-3, 5)$ ، $Q(7, -1)$ .
إذا كان منتصف $EF$ هو $(0,0)$ وكان $E(-5, 2)$ ، أوجد إحداثيي $F$ .
أثبت أن النقطة $(3,4)$ هي منتصف القطعة الواصلة بين $(1,2)$ و $(5,6)$ .
في متوازي أضلاع $ABCD$ ، إذا كان $A(1,1)$ ، $B(5,1)$ ، $C(7,4)$ ، أوجد إحداثيي $D$ مستخدمًا خاصية تناصف القطرين.