ملخص معادلة الخط المستقيم بمعلومية ميله وطول الجزء المقطوع من محور الصادات — ثالثة إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة الخامسة: الهندسة التحليلية

يمكن رسم مستقيم إذا عرفنا نقطتين عليه، لكن الأدق أن نصفه بمعادلة واحدة تحدد كل نقاطه. يقدم هذا الدرس صورة مهمة لمعادلة المستقيم تعتمد على ميله الذي درسته في الدرس السابق، وعلى النقطة التي يقطع عندها محور الصادات.

أهداف التعلم

أن يستنتج الطالب صورة الميل والجزء المقطوع لمعادلة الخط المستقيم $y = mx + c$ .
أن يكتب الطالب معادلة مستقيم معلوم ميله وطول الجزء المقطوع من محور الصادات مباشرة.
أن يحدد الطالب ميل المستقيم وطول الجزء المقطوع من محور الصادات من معادلة معطاة.
أن يوظف الطالب هذه الصورة في مسائل التوازي والتعامد بين المستقيمات.

شرح الدرس

المقصود بطول الجزء المقطوع من محور الصادات

عندما يقطع مستقيم ما محور الصادات (المحور الرأسي $y$ )، تكون النقطة $x=0$ عندها، وتسمى قيمة $y$ عند هذه النقطة طول الجزء المقطوع من محور الصادات، ويُرمز له عادة بالحرف $c$ . فالمستقيم يمر بالنقطة $(0, c)$ .

اشتقاق صورة الميل والجزء المقطوع

لتكن $P(x, y)$ أي نقطة تقع على مستقيم ميله $m$ ويقطع محور الصادات في النقطة $(0, c)$ . بتطبيق قانون الميل بين النقطتين $P(x,y)$ و $(0, c)$ :

m = \frac{y - c}{x - 0} = \frac{y-c}{x}

بضرب الطرفين في $x$ :

mx = y - c

وبإعادة الترتيب، نحصل على الصورة القياسية لمعادلة المستقيم بدلالة الميل والجزء المقطوع:

y = mx + c

حيث $m$ يمثل ميل المستقيم، و $c$ يمثل طول الجزء المقطوع من محور الصادات.

المستقيم y = 2x − 3 على المستوى الإحداثي: ميله 2 لأن كل خطوة أفقية مقدارها 1 يقابلها صعود 2، ويقطع محور الصادات عند النقطة (0, −3)

كيفية استخدام الصورة $y = mx + c$

لكتابة معادلة مستقيم: إذا عُلم ميله $m$ وطول الجزء المقطوع من محور الصادات $c$ ، تُكتب المعادلة مباشرة بالتعويض في $y = mx + c$ .
لقراءة الميل والجزء المقطوع من معادلة معطاة: تُصاغ المعادلة أولًا في الصورة $y = mx + c$ (بحل المعادلة بالنسبة لـ $y$ إذا لزم الأمر)، ثم يكون معامل $x$ هو الميل $m$ ، والحد الثابت هو $c$ .

حالات خاصة

إذا كان $c = 0$ : يكون المستقيم $y = mx$ ، وهو يمر بنقطة الأصل $(0,0)$ (تمثل التغير الطردي بين $y, x$ ).
إذا كان $m = 0$ : يكون المستقيم $y = c$ ، وهو مستقيم أفقي (موازٍ لمحور السينات) يمر بالنقطة $(0,c)$ .

استخدام الصورة في مسائل التوازي والتعامد

بما أن معامل $x$ في الصورة $y=mx+c$ يمثل الميل مباشرة:

مستقيمان متوازيان لهما نفس المعامل (نفس $m$ ) في هذه الصورة.
مستقيمان متعامدان حاصل ضرب معاملي $x$ فيهما يساوي $-1$ .

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: اكتب معادلة المستقيم الذي ميله $3$ ويقطع محور الصادات في الجزء الذي طوله $-2$ .

الحل: بالتعويض المباشر في $y = mx + c$ حيث $m=3$ ، $c=-2$ :

y = 3x - 2

مثال 2: أوجد ميل وطول الجزء المقطوع من محور الصادات للمستقيم $2x + y = 6$ .

الحل: نعيد كتابة المعادلة بدلالة $y$ :

y = -2x + 6

بمقارنتها بـ $y=mx+c$ : الميل $m = -2$ ، وطول الجزء المقطوع من محور الصادات $c = 6$ .

مثال 3: أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة $(0, 5)$ والموازي للمستقيم $y = 4x - 1$ .

الحل: ميل المستقيم المطلوب يساوي ميل $y=4x-1$ (لأنهما متوازيان)، إذن $m=4$ . وبما أن المستقيم يمر بـ $(0,5)$ فإن $c=5$ :

y = 4x + 5

مثال 4: أوجد معادلة المستقيم الذي يقطع محور الصادات عند $c=3$ ويكون عموديًا على المستقيم $y = -\frac{1}{2}x + 7$ .

الحل: ميل المستقيم المعطى هو $-\frac{1}{2}$ ، فيكون ميل المستقيم العمودي عليه:

m = -\frac{1}{-1/2} = 2

وبما أن $c=3$ :

y = 2x + 3

ملاحظات مهمة

قبل قراءة الميل تأكد أن معامل $y$ يساوي $1$ ؛ ففي المعادلة $3x - 2y = 8$ يجب أولًا كتابتها على الصورة $y = \frac{3}{2}x - 4$ .
المستقيم الرأسي $x = k$ لا يمكن كتابته على الصورة $y = mx + c$ لأن ميله غير معرف.

المفاهيم الأساسية

الصورة القياسية لمعادلة المستقيم: $y = mx + c$ ، حيث $m$ الميل و $c$ طول الجزء المقطوع من محور الصادات.
المستقيم $y=mx+c$ يمر دائمًا بالنقطة $(0, c)$ .
إذا $c=0$ فالمستقيم يمر بنقطة الأصل؛ وإذا $m=0$ فالمستقيم أفقي.
لإيجاد $m, c$ من معادلة، تُصاغ أولًا بدلالة $y$ بمفردها في طرف واحد.
مستقيمان متوازيان لهما نفس $m$ ؛ ومتعامدان إذا كان حاصل ضرب ميليهما $=-1$ .

ملخص الدرس

معادلة المستقيم الذي ميله $m$ ويقطع محور الصادات عند النقطة $(0, c)$ هي $y = mx + c$ . لقراءة الميل والجزء المقطوع من معادلة معطاة نكتبها أولًا بحيث تكون $y$ وحدها في طرف، فيكون معامل $x$ هو الميل والحد الثابت هو $c$ . وإذا كان $c = 0$ مر المستقيم بنقطة الأصل، وإذا كان $m = 0$ كان المستقيم أفقيًا. وتُستخدم هذه الصورة في مسائل التوازي والتعامد مباشرة.

أسئلة للتدريب

اكتب معادلة المستقيم الذي ميله $-4$ ويقطع محور الصادات عند النقطة $(0, 7)$ .
أوجد ميل وطول الجزء المقطوع من محور الصادات للمستقيم $3x - 2y = 8$ .
أوجد معادلة المستقيم المار بنقطة الأصل والموازي للمستقيم $y = -5x + 2$ .
إذا كان المستقيمان $y = kx + 1$ و $y = 3x - 4$ متوازيين، أوجد قيمة $k$ .