أسئلة: النسب المثلثية الأساسية للزاوية الحادة

الإجابة الصحيحة: الضلع المقابل

الضلع المقابل هو الضلع الذي يقع مقابل الزاوية الحادة ولا يشكل أحد ضلعيها.

الإجابة الصحيحة: الوتر

الوتر هو الضلع الأطول في المثلث القائم الزاوية ويقابل الزاوية القائمة.

الإجابة الصحيحة: $\sin \theta$

حسب تعريف الجيب (sine)، هو نسبة طول الضلع المقابل للزاوية إلى طول الوتر.

الإجابة الصحيحة: $\frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}}$

ظل الزاوية (tangent) هو نسبة طول الضلع المقابل للزاوية إلى طول الضلع المجاور لها.

الإجابة الصحيحة: $\frac{4}{5}$

بالنسبة للزاوية $A$، الضلع المقابل هو $BC=8$ والوتر هو $AC=10$. إذن، $\sin A = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{12}{13}$

بالنسبة للزاوية $C$، الضلع المجاور هو $BC=12$ والوتر هو $AC=13$. إذن، $\cos C = \frac{12}{13}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{4}{3}$

بالنسبة للزاوية $D$، الضلع المقابل هو $EF=12$ والضلع المجاور هو $DE=9$. إذن، $\tan D = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{16}{25}$

باستخدام المتطابقة $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$: $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{15}{17}$

باستخدام المتطابقة $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$: $\cos^2 \theta = 1 - (\frac{8}{17})^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289}$. بما أن $\theta$ حادة، $\cos \theta = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$.

الإجابة الصحيحة: $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

العلاقة الصحيحة هي $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$، حيث $\frac{\text{مقابل/وتر}}{\text{مجاور/وتر}} = \frac{\text{مقابل}}{\text{مجاور}}$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{2}$

نعلم أن $\sin \theta = \cos(90° - \theta)$. إذن $\sin 30° = \cos(90° - 30°) = \cos 60°$.

الإجابة الصحيحة: $20°$

بما أن $\cos \theta = \sin(90° - \theta)$، فإن $90° - \theta = 70°$. وبالتالي $\theta = 90° - 70° = 20°$.

بالنسبة للزاوية $Z$: الضلع المقابل هو $XY=6$ سم، الضلع المجاور هو $YZ=8$ سم، والوتر هو $XZ=10$ سم. $\sin Z = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{XY}{XZ} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ $\cos Z = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{YZ}{XZ} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ $\tan Z = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{XY}{YZ} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

نستخدم المتطابقة الأساسية: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$. $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}$. بما أن $\theta$ زاوية حادة، فإن $\sin\theta$ موجبة. إذن $\sin\theta = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$. نستخدم العلاقة $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$. $\tan\theta = \frac{24/25}{7/25} = \frac{24}{7}$.

نعلم أن $\sin \theta = \frac{\text{طول الضلع المقابل}}{\text{طول الوتر}}$ ونعلم أن $\cos \theta = \frac{\text{طول الضلع المجاور}}{\text{طول الوتر}}$ إذن، $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\text{طول الضلع المقابل}}{\text{طول الوتر}}}{\frac{\text{طول الضلع المجاور}}{\text{طول الوتر}}}$ بضرب البسط والمقام في "طول الوتر"، نحصل على: $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\text{طول الضلع المقابل}}{\text{طول الضلع المجاور}}$ وحسب تعريف $\tan \theta = \frac{\text{طول الضلع المقابل}}{\text{طول الضلع المجاور}}$ إذن، $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.

نعلم أن العلاقة بين النسب المثلثية للزاويتين المتتامتين هي $\sin \theta = \cos(90° - \theta)$. لتطبيق هذه العلاقة، نضع $\theta = 40°$. إذن، $\sin 40° = \cos(90° - 40°)$. $\sin 40° = \cos 50°$. وهو المطلوب إثباته.

بما أن $\tan\theta = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{3}{4}$، يمكننا افتراض مثلث قائم الزاوية حيث الضلع المقابل لـ$\theta$ طوله $3$ وحدات، والضلع المجاور طوله $4$ وحدات. باستخدام نظرية فيثاغورس، الوتر$^2$ = المقابل$^2$ + المجاور$^2$ = $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. إذن، طول الوتر = $\sqrt{25} = 5$ وحدات. الآن يمكننا إيجاد $\sin\theta$ و $\cos\theta$: $\sin\theta = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{3}{5}$. $\cos\theta = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{4}{5}$.

لدينا طول الضلع المقابل $= 5$ سم، والوتر $= 13$ سم. أولاً، نوجد طول الضلع المجاور باستخدام نظرية فيثاغورس: المجاور$^2$ + المقابل$^2$ = الوتر$^2$ المجاور$^2$ + $5^2$ = $13^2$ المجاور$^2$ + $25$ = $169$ المجاور$^2$ = $169 - 25 = 144$ المجاور = $\sqrt{144} = 12$ سم. الآن نحسب $\cos \theta$ و $\tan \theta$: $\cos \theta = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{12}{13}$. $\tan \theta = \frac{\text{المقابل}}{\text{المجاور}} = \frac{5}{12}$.