أسئلة: التشتت

الإجابة الصحيحة: معرفة مدى تقارب أو تباعد القيم عن المركز

مقاييس النزعة المركزية تصف مركز البيانات، بينما تصف مقاييس التشتت درجة تقارب أو تباعد البيانات حول هذا المركز.

الإجابة الصحيحة: 17

المدى = أكبر قيمة - أصغر قيمة = $22 - 5 = 17$.

الإجابة الصحيحة: المدى

المدى هو أبسط مقاييس التشتت لأنه يعتمد فقط على أكبر وأصغر قيمة، ولذلك يتأثر بشدة بالقيم الشاذة والمتطرفة.

الإجابة الصحيحة: لأن مجموع الانحرافات الفعلية عن الوسط الحسابي يساوي صفرًا دائمًا

تُستخدم القيمة المطلقة لأن مجموع الانحرافات بدونها عن الوسط الحسابي يساوي صفرًا دائمًا.

الإجابة الصحيحة: 4

الانحراف المتوسط = $\dfrac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \dfrac{20}{5} = 4$.

الإجابة الصحيحة: 7

الوسط الحسابي = مجموع القيم على عددها = $\dfrac{3+5+7+9+11}{5} = \dfrac{35}{5} = 7$.

الإجابة الصحيحة: 4

الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي الموجب للتباين: $\sigma = \sqrt{16} = 4$.

الإجابة الصحيحة: المجموعة الأولى أكثر تجانسًا من الثانية

كلما صغرت قيمة الانحراف المعياري دل ذلك على زيادة تجانس البيانات وتقاربها حول الوسط.

الإجابة الصحيحة: $\text{سم}^2$

نظرًا لأن التباين يحسب مربعات انحرافات القيم $(x_i - \bar{x})^2$، فإن وحدة القياس تكون مربعة.

الإجابة الصحيحة: 2.4

الوسط الحسابي = $\dfrac{30}{5} = 6$. الانحرافات المطلقة: $|2-6|=4, |4-6|=2, |6-6|=0, |8-6|=2, |10-6|=4$. المجموع = $12$. الانحراف المتوسط = $\dfrac{12}{5} = 2.4$.

الإجابة الصحيحة: 2

مجموع مربعات الانحرافات = $4+1+0+1+4 = 10$. التباين = $\dfrac{10}{5} = 2$.

الإجابة الصحيحة: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$

الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي الموجب للتباين.

1. المدى = أكبر قيمة - أصغر قيمة = $10 - 3 = 7$. 2. الوسط الحسابي $\bar{x} = \dfrac{3+5+5+7+10}{5} = \dfrac{30}{5} = 6$. 3. الانحرافات المطلقة: $|3-6|=3$, $|5-6|=1$, $|5-6|=1$, $|7-6|=1$, $|10-6|=4$. 4. مجموع الانحرافات = $3+1+1+1+4 = 10$. 5. الانحراف المتوسط = $\dfrac{10}{5} = 2$.

1. الوسط الحسابي $\bar{x} = \dfrac{1+3+5+7+9}{5} = \dfrac{25}{5} = 5$. 2. انحرافات القيم ومربعاتها: $(1-5)^2=16$, $(3-5)^2=4$, $(5-5)^2=0$, $(7-5)^2=4$, $(9-5)^2=16$. 3. مجموع المربعات = $16+4+0+4+16 = 40$. 4. التباين $\sigma^2 = \dfrac{40}{5} = 8$. 5. الانحراف المعياري $\sigma = \sqrt{8} \approx 2.83$.

المجموعة الأولى هي الأكثر تجانسًا؛ لأن الانحراف المعياري لها أصغر ($1.2 < 5.6$)، مما يدل على أن قيمها أكثر تقاربًا وتمركزًا حول الوسط الحسابي مقارنة بالمجموعة الثانية التي تكون قيمها أكثر تشتتاً وتباعداً.

1. الوسط الحسابي $\bar{x} = \dfrac{2+3+3+4+8}{5} = \dfrac{20}{5} = 4$. 2. مربعات انحرافات القيم عن الوسط: $(2-4)^2=4$, $(3-4)^2=1$, $(3-4)^2=1$, $(4-4)^2=0$, $(8-4)^2=16$. 3. مجموع المربعات = $4+1+1+0+16 = 22$. 4. التباين $\sigma^2 = \dfrac{22}{5} = 4.4$. 5. الانحراف المعياري $\sigma = \sqrt{4.4} \approx 2.1$. التفسير: تدل هذه القيمة على وجود تشتت ملحوظ في ساعات المذاكرة للطلاب حول المتوسط (4 ساعات)، وخاصة بسبب وجود قيمة متطرفة (8 ساعات).

مقاييس النزعة المركزية (مثل الوسط الحسابي) تهتم بتحديد "مركز" أو قيمة متوسطة تمثل البيانات وتصفها مجتمعة. أما مقاييس التشتت (مثل الانحراف المعياري والمدى) فلا تكتفي بالمركز، بل تقيس مدى تقارب أو تباعد القيم عن هذا المركز لمعرفة مدى تجانس المجموعة.

لأن المدى يعتمد فقط على أكبر وأصغر قيمة ويتأثر بالقيم الشاذة متجاهلاً بقية البيانات. أما الانحراف المتوسط فيستخدم القيم المطلقة والتي تواجه صعوبة في بعض المعالجات الجبرية. في المقابل، يعتمد التباين والانحراف المعياري على تربيع الانحرافات، مما يجعلهما أكثر دقة وملاءمة للعمليات الرياضية والإحصائية المتقدمة.