المحتوى الرئيسي

تعريف الدالة

الدالة (التطبيق) من مجموعة $A$ إلى مجموعة $B$ هي علاقة خاصة $f \subseteq A \times B$ تربط كل عنصر من عناصر $A$ بعنصر واحد فقط وليس أكثر من عناصر $B$. بعبارة أخرى:

لكل $x \in A$ يوجد $y \in B$ وحيد بحيث $(x, y) \in f$، ويُكتب $y = f(x)$، حيث تسمى $A$ مجموعة الانطلاق و $B$ مجموعة الوصول.

فالدالة إذن هي علاقة، لكن ليست كل علاقة دالة؛ الشرط الإضافي هو عدم تكرار المؤلفة الأولى بمؤلفتين ثانيتين مختلفتين.

اختبار كون العلاقة دالة

لكي تكون العلاقة $R \subseteq A \times B$ دالة، يجب أن يتحقق الشرطان التاليان معًا:

1. كل عنصر من $A$ له صورة: أي أن مجال $R$ يساوي $A$ بالكامل.
2. لكل عنصر من $A$ صورة واحدة فقط: أي لا يظهر نفس $x$ في زوجين مختلفين لهما $y$ مختلفتان.

فمثلًا $R = \{(1,2),(2,3),(1,5)\}$ ليست دالة لأن العنصر $1$ له صورتان مختلفتان ($2$ و $5$).

اختبار الخط الرأسي (بيانيًا)

إذا رُسم التمثيل البياني للعلاقة، فإنها تكون دالة إذا وفقط إذا لم يقطع أي خط مستقيم رأسي (موازٍ لمحور الصادات) المنحنى في أكثر من نقطة واحدة. فإذا قطع الخط الرأسي المنحنى في نقطتين أو أكثر، فهذا يعني أن قيمة $x$ واحدة لها أكثر من صورة $y$، وبالتالي لا تكون العلاقة دالة.

مجال الدالة ومداها

• مجال الدالة $D_f$: مجموعة كل قيم $x$ التي تُعرَّف عندها الدالة (وهي هنا تساوي مجموعة الانطلاق $A$ بالكامل).
• مدى الدالة $M_f$: مجموعة كل الصور $f(x)$ الناتجة، وهي مجموعة جزئية من $B$ (وليس بالضرورة تساوي $B$ بالكامل).

الدالة الثابتة (Constant Function)

هي الدالة التي تُعطي نفس القيمة $c$ لكل عناصر المجال: $f(x) = c \quad \text{لكل } x \in D_f$ وتمثيلها البياني خط مستقيم أفقي (موازٍ لمحور السينات) يمر بالنقطة $(0, c)$. مداها هو المجموعة $\{c\}$.

دالة المطابقة (الدالة المتطابقة، Identity Function)

هي الدالة التي تُعيد كل عنصر إلى نفسه: $f(x) = x \quad \text{لكل } x \in D_f$ وتمثيلها البياني خط مستقيم يمر بنقطة الأصل ويميل بزاوية $45°$ على المحور الأفقي، حيث $M_f = D_f$.

الترميز ورمز الدالة

يُرمز للدالة عادة بالحرف $f$ (أو $g, h$)، وتُكتب $f: A \to B$، وتُقرأ ”$f$ دالة من $A$ إلى $B$”، وتُكتب صورة العنصر $x$ بالرمز $f(x)$ ويُقرأ ”$f$ عند $x$” أو “صورة $x$ في $f$”.

أسئلة للمراجعة

• هل العلاقة $\{(2,3),(4,3),(5,3)\}$ دالة؟ علل إجابتك، وحدد نوعها إن كانت كذلك.
• بيّن باستخدام اختبار الخط الرأسي لماذا يكون منحنى الدائرة $x^2+y^2=4$ ليس تمثيلًا لدالة.
• إذا كانت $A=\{-1,0,1,2\}$، عرّف دالة المطابقة عليها واكتبها كمجموعة أزواج مرتبة.
• أوجد قيمة $k$ التي تجعل $\{(1,4),(2,k),(3,4)\}$ دالة ثابتة.