أسئلة: قُوى القُوى

الإجابة الصحيحة: $x^{12}$

عند رفع قوة إلى قوة نُبقي الأساس ونضرب الأسين: $3 \times 4 = 12$، أما $x^7$ فناتج خطأ جمع الأسين.

الإجابة الصحيحة: $4x^{6}$

الأس يتوزع على كل عامل: $2^2 \times (x^3)^2 = 4x^6$؛ والخطأ الشائع نسيان تربيع المعامل $2$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{1}{8}$

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ فيكون $2^{-3} = \frac{1}{8}$، والأس السالب لا يجعل العدد سالبًا.

الإجابة الصحيحة: $1$

أي عدد حقيقي لا يساوي الصفر مرفوع للأس صفر يساوي $1$.

الإجابة الصحيحة: خطأ

الأس يخص العدد $3$ وحده، فيكون $-3^2 = -9$، أما $(-3)^2 = 9$.

الإجابة الصحيحة: خطأ

الأس لا يتوزع على الجمع؛ فمثلًا $(1+2)^2 = 9$ بينما $1^2 + 2^2 = 5$.

الإجابة الصحيحة: $9$

$(3^2)^3 = 3^6$، ثم $3^6 \div 3^4 = 3^2 = 9$.

الإجابة الصحيحة: $2^{12}$

$16 = 2^4$، إذن $16^3 = (2^4)^3 = 2^{12}$.

الإجابة الصحيحة: $x^{6}$

قاعدة قوة القوة تصح مع الأسس السالبة: $(-2) \times (-3) = 6$.

الإجابة الصحيحة: $\frac{8a^{6}}{b^{9}}$

نوزع الأس على البسط والمقام وكل عامل: $2^3 = 8$ و$(a^2)^3 = a^6$ و$(b^3)^3 = b^9$.

الإجابة الصحيحة: $16$

داخل القوس $2^{5-3} = 2^2$، ثم $(2^2)^2 = 2^4 = 16$.

الإجابة الصحيحة: $1$

البسط $3^{10} \times 3^{-4} = 3^6$ والمقام $3^6$، فالناتج $3^0 = 1$.

الإجابة الصحيحة: $25$

$2^{2x} = (2^x)^2 = 5^2 = 25$ باستخدام قاعدة قوة القوة، لا بضرب $5$ في $2$.

الإجابة الصحيحة: $4$

$(-2)^{3 + (-1)} = (-2)^2 = 4$، والأس الزوجي يجعل الناتج موجبًا.

الإجابة الصحيحة: $3^{6}$

$27 = 3^3$، إذن $27^2 = (3^3)^2 = 3^6$؛ أما $9^6 = 3^{12}$.

في $(a^m)^n$ نرفع قوة إلى قوة فنبقي الأساس ونضرب الأسين: $(a^m)^n = a^{mn}$، مثل $(2^3)^2 = 2^6 = 64$. وفي $a^m \times a^n$ نضرب قوتين لهما الأساس نفسه فنجمع الأسين: $a^{m+n}$، مثل $2^3 \times 2^2 = 2^5 = 32$.

$(x^2y^{-1})^3 = x^6y^{-3}$ و$(xy^2)^2 = x^2y^4$. بضربهما: $x^{6+2}y^{-3+4} = x^8y$.

نكتب الأعداد بالأساس $2$: $8^2 = (2^3)^2 = 2^6$ و$4^3 = (2^2)^3 = 2^6$. البسط $2^6 \times 2^6 = 2^{12}$، والناتج $2^{12} \div 2^{10} = 2^2 = 4$.

من قاعدة القسمة: $a^n \div a^n = a^{n-n} = a^0$، لكن أي عدد غير صفري مقسوم على نفسه يساوي $1$، إذن $a^0 = 1$. وكذلك $a^0 \div a^n = a^{0-n} = a^{-n}$، وفي الوقت نفسه $a^0 \div a^n = \frac{1}{a^n}$، إذن $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. ويشترط $a \neq 0$ لأن القسمة على الصفر غير معرّفة.