أهداف التعلم

• أن تستنتج قاعدة قوة القوة $(a^m)^n = a^{mn}$ وتطبقها.
• أن توزّع الأس على حاصل ضرب أو خارج قسمة.
• أن تتعامل مع الأس الصفري والأس السالب عند التبسيط.
• أن تبسّط مقادير أسية تجمع أكثر من قاعدة في خطوة واحدة.

شرح الدرس

تذكّر: معنى القوة

إذا كان $a$ عددًا حقيقيًا و$n$ عددًا صحيحًا موجبًا فإن $a^n$ تعني ضرب $a$ في نفسه $n$ من المرات، ويسمى $a$ الأساس و$n$ الأس. ومن القواعد التي درستها:

قاعدة قوة القوة

لنفكّ المقدار $(2^3)^2$:

لاحظ أن الأس الناتج $6$ هو حاصل ضرب الأسين $3 \times 2$. وبوجه عام، لأي عدد حقيقي $a \neq 0$ وأي عددين صحيحين $m$ و$n$:

أي: عند رفع قوة إلى قوة نُبقي الأساس ونضرب الأسين. انتبه للفرق بين $(a^m)^n$ حيث نضرب الأسين، و$a^m \times a^n$ حيث نجمعهما.

قوة حاصل الضرب وقوة خارج القسمة

الأس الخارجي يتوزع على كل عامل داخل القوس عندما تكون العملية ضربًا أو قسمة:

مثال: $(3x^2)^3 = 3^3 \times (x^2)^3 = 27x^6$.

أما عند الجمع أو الطرح فلا يتوزع الأس: $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$، فمثلًا $(1+2)^2 = 9$ بينما $1^2 + 2^2 = 5$.

الأس الصفري والأس السالب

• لأي $a \neq 0$: $a^0 = 1$.
• لأي $a \neq 0$ وعدد صحيح موجب $n$: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

وتبقى قاعدة قوة القوة صحيحة مع الأسس السالبة: $(a^{-2})^3 = a^{-6} = \frac{1}{a^6}$.

أسئلة للتدريب

1. بسّط: $(x^4)^3 \times x^{-2}$.
2. أوجد قيمة: $\frac{(3^2)^3}{3^4}$.
3. بسّط: $(-2y^3)^3$.
4. اكتب $16^3$ في صورة قوة للأساس $2$، ثم في صورة قوة للأساس $4$.
5. هل $(2+3)^2 = 2^2 + 3^2$؟ برّر إجابتك بالحساب.