ملخص الدالة التربيعية — ثالثة إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة 2: الجبر
الدرس: 2-1

عندما تقذف كرة إلى أعلى فإنها ترتفع ثم تعود إلى الأرض راسمةً مسارًا منحنيًا متماثلًا. هذا المسار يمكن وصفه بدالة تربيعية. في هذا الدرس نتعرف على الدالة التربيعية ونرسمها ونقرأ خواصها من الرسم ومن قاعدتها.

أهداف التعلم

أن تتعرف الدالة التربيعية وتكتب صورتها العامة.
أن ترسم منحنى دالة تربيعية بإعداد جدول قيم.
أن تحدد من الرسم وبالحساب نقطة رأس المنحنى ومعادلة محور التماثل.
أن تستنتج القيمة العظمى أو الصغرى للدالة من إشارة معامل $x^2$ .

شرح الدرس

تعريف الدالة التربيعية

الدالة التربيعية هي دالة كثيرة حدود من الدرجة الثانية، صورتها العامة:

f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \neq 0

حيث $a$ و $b$ و $c$ أعداد حقيقية. مجال الدالة هو $\mathbb{R}$ ، ومنحناها يسمى القطع المكافئ. أمثلة: $f(x) = x^2$ ، و $f(x) = -x^2 + 4$ ، و $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$ .

رسم منحنى الدالة التربيعية

لرسم $f(x) = x^2 - 2x - 3$ نعدّ جدولًا لقيم $x$ حول رأس المنحنى:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$5$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$	$5$

نمثل النقاط $(x, f(x))$ في المستوى الإحداثي ونصلها بمنحنى أملس (لا بقطع مستقيمة).

خواص المنحنى

اتجاه الفتحة: إذا كان $a \gt 0$ فالمنحنى مفتوح لأعلى، وإذا كان $a \lt 0$ فهو مفتوح لأسفل.
نقطة الرأس: أدنى نقطة على المنحنى المفتوح لأعلى، أو أعلى نقطة على المنحنى المفتوح لأسفل. الإحداثي السيني للرأس هو:

x = \frac{-b}{2a}

محور التماثل: المستقيم الرأسي المار برأس المنحنى، ومعادلته $x = \frac{-b}{2a}$ . كل نقطتين على المنحنى لهما القيمة نفسها لـ $f(x)$ تقعان على بعدين متساويين من هذا المحور.
القيمة الصغرى أو العظمى: هي الإحداثي الصادي للرأس؛ صغرى عندما $a \gt 0$ وعظمى عندما $a \lt 0$ .

في مثالنا $a = 1$ و $b = -2$ ، فالرأس عند $x = \frac{2}{2} = 1$ ، و $f(1) = -4$ . إذن الرأس $(1, -4)$ ، ومحور التماثل $x = 1$ ، والقيمة الصغرى $-4$ . ولاحظ تماثل الجدول: $f(0) = f(2) = -3$ و $f(-1) = f(3) = 0$ .

منحنى الدالة f(x) = x² − 2x − 3: قطع مكافئ مفتوح لأعلى رأسه (1, −4) ومحور تماثله x = 1، ويقطع محور السينات عند (−1, 0) و(3, 0) ومحور الصادات عند (0, −3)

نقاط التقاطع مع المحورين

مع محور الصادات: عند $x = 0$ ، فتكون النقطة $(0, c)$ .
مع محور السينات: عند $f(x) = 0$ ، وفي مثالنا عند $x = -1$ و $x = 3$ ، وهذه تمهّد لدرس أصفار الدالة التالي.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: حدد اتجاه الفتحة ونقطة الرأس للدالة $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ .

الحل: $a = -1 \lt 0$ فالمنحنى مفتوح لأسفل. $x = \frac{-4}{2(-1)} = 2$ ، و $f(2) = -4 + 8 - 1 = 3$ . الرأس $(2, 3)$ والقيمة العظمى $3$ .

مثال 2: اكتب معادلة محور التماثل للدالة $f(x) = 2x^2 + 8x$ .

الحل: $x = \frac{-8}{2 \times 2} = -2$ ، فمعادلة المحور $x = -2$ .

مثال 3 (تطبيق): ارتفاع كرة بالمتر بعد $t$ ثانية هو $h(t) = -5t^2 + 20t$ . متى تصل إلى أقصى ارتفاع وما مقداره؟

الحل: $t = \frac{-20}{2(-5)} = 2$ ثانية، و $h(2) = -20 + 40 = 20$ مترًا.

ملاحظات مهمة

الشرط $a \neq 0$ أساسي؛ فإذا كان $a = 0$ أصبحت الدالة خطية ومنحناها مستقيم.
القيمة الصغرى أو العظمى هي قيمة $f(x)$ (الإحداثي الصادي)، لا قيمة $x$ .
اختر قيم الجدول متماثلة حول الرأس ليظهر شكل المنحنى كاملًا.

طريقة منظمة للرسم: ابدأ بكتابة معاملات الدالة بعلاماتها، ثم احسب محور التماثل وإحداثيي الرأس. بعد ذلك حدد نقطة التقاطع مع محور الصادات، وابحث عن التقاطع مع محور السينات إن أمكن. اختر نقطتين متناظرتين حول المحور، ومثّل النقاط ثم ارسم قطعًا مكافئًا أملس. إذا لم تتفق النقطتان المتناظرتان في القيمة الصادية، فراجع التعويض.

تدريب بإجابة: أوجد رأس منحنى $y=2x^2-8x+5$ . الإحداثي السيني للرأس $x=2$ ، وبالتعويض تكون القيمة الصادية $-3$ ، إذن الرأس $(2,-3)$ . المنحنى مفتوح لأعلى لأن معامل الحد التربيعي موجب، فتكون $-3$ قيمة صغرى. وللتحقق نجد أن قيمة الدالة عند $x=1$ وعند $x=3$ هي $-1$ في الحالتين.

خطأ شائع: استخدام العلاقة الخاصة بمحور التماثل بلا أقواس واضحة، أو اعتبار الإحداثي السيني للرأس هو القيمة العظمى أو الصغرى. القيمة القصوى هي الإحداثي الصادي، وتُحسب بالتعويض عن إحداثي الرأس السيني في الدالة الأصلية.

المفاهيم الأساسية

الدالة التربيعية: $f(x) = ax^2 + bx + c$ حيث $a \neq 0$ ، ومنحناها قطع مكافئ.
$a \gt 0$ : فتحة لأعلى وقيمة صغرى؛ $a \lt 0$ : فتحة لأسفل وقيمة عظمى.
الإحداثي السيني للرأس ومعادلة محور التماثل: $x = \frac{-b}{2a}$ .
نقطة التقاطع مع محور الصادات هي $(0, c)$ .

ملخص الدرس

الدالة التربيعية كثيرة حدود من الدرجة الثانية يمثلها قطع مكافئ متماثل حول مستقيم رأسي يمر برأسه. تحدد إشارة $a$ اتجاه الفتحة ونوع القيمة القصوى، ونحسب رأس المنحنى من العلاقة $x = \frac{-b}{2a}$ ثم نعوض لإيجاد القيمة العظمى أو الصغرى.

أسئلة للتدريب

ارسم منحنى $f(x) = x^2 - 4$ في الفترة $[-3, 3]$ ، وحدد منه الرأس ونقطتي التقاطع مع محور السينات.
أوجد الرأس ومعادلة محور التماثل للدالة $f(x) = x^2 + 6x + 5$ .
هل للدالة $f(x) = -3x^2 + 12$ قيمة عظمى أم صغرى؟ أوجدها.
إذا كان $f(1) = f(5)$ لدالة تربيعية، فما معادلة محور تماثلها؟ ولماذا؟