ملخص تشابه المثلثات — ثالثة إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة 3: الهندسة
الدرس: 3-2

في درس تشابه المضلعات احتجنا إلى شرطين للحكم بالتشابه. المثلث أبسط من ذلك: يكفي أحيانًا أن تتطابق زاويتان فقط. هذه الميزة تجعل تشابه المثلثات أداة قوية لقياس ارتفاع شجرة أو مبنى باستخدام الظل.

أهداف التعلم

أن تذكر حالات تشابه مثلثين الثلاث.
أن تثبت تشابه مثلثين بإحدى الحالات مع ذكر السبب.
أن تحسب أطوالًا مجهولة باستخدام تناسب الأضلاع المتناظرة.
أن تطبق التشابه في مسائل حياتية كالظلال.

شرح الدرس

الحالة الأولى: تطابق زاويتين (ز ز)

إذا طابقت زاويتان في مثلث زاويتين في مثلث آخر كان المثلثان متشابهين. السبب أن مجموع زوايا المثلث $180^\circ$ ، فتتطابق الزاوية الثالثة تلقائيًا، ثم تتناسب الأضلاع.

الحالة الثانية: تناسب الأضلاع الثلاثة (ض ض ض)

إذا تناسبت أطوال الأضلاع الثلاثة المتناظرة في مثلثين كانا متشابهين:

\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} \implies \triangle ABC \sim \triangle DEF

الحالة الثالثة: تناسب ضلعين وتطابق الزاوية المحصورة (ض ز ض)

إذا تناسب طولا ضلعين في مثلث مع طولي ضلعين في مثلث آخر، وتطابقت الزاويتان المحصورتان بينهما، كان المثلثان متشابهين.

حالات تشابه مثلثين: تطابق زاويتين، وتناسب الأضلاع الثلاثة المتناظرة، وتناسب ضلعين مع تطابق الزاوية المحصورة بينهما

نتيجة مهمة: المستقيم الموازي لضلع في مثلث

إذا رسم مستقيم يوازي ضلعًا في مثلث ويقطع الضلعين الآخرين، فإنه يكوّن مثلثًا صغيرًا مشابهًا للمثلث الأصلي، لأن الزوايا المتناظرة الناتجة عن التوازي متساوية (حالة ز ز).

مثلث ABC رُسم فيه المستقيم DE موازيًا للضلع BC فتكوّن المثلث الصغير ADE المشابه للمثلث ABC، وتتساوى الزوايا المتناظرة عند D وB

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: في $\triangle ABC$ ، $m(\angle A) = 50^\circ$ و $m(\angle B) = 70^\circ$ . وفي $\triangle XYZ$ ، $m(\angle X) = 50^\circ$ و $m(\angle Z) = 60^\circ$ . هل يتشابهان؟

الحل: $m(\angle C) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ . إذن $\angle A \equiv \angle X$ و $\angle C \equiv \angle Z$ ، فيكون $\triangle ABC \sim \triangle XYZ$ (حالة ز ز).

مثال 2: مثلث أضلاعه $6$ و $8$ و $10$ ، وآخر أضلاعه $9$ و $12$ و $15$ . هل يتشابهان؟

الحل: $\frac{6}{9} = \frac{8}{12} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ ، إذن المثلثان متشابهان (ض ض ض).

مثال 3: في $\triangle ABC$ رُسم $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ حيث $D \in \overline{AB}$ و $E \in \overline{AC}$ . إذا كان $AD = 4$ و $DB = 6$ و $DE = 5$ ، فأوجد $BC$ .

الحل: $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ ، و $AB = 10$ . إذن $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}$ ، أي $\frac{5}{BC} = \frac{4}{10}$ ، ومنها $BC = 12.5$ .

مثال 4 (الظل): طول ظل عمود ارتفاعه $2$ متر هو $1.5$ متر، وفي اللحظة نفسها طول ظل شجرة $9$ أمتار. أوجد ارتفاع الشجرة.

الحل: أشعة الشمس متوازية، فالمثلثان المكونان من الجسم وظله متشابهان. $\frac{h}{9} = \frac{2}{1.5}$ ، ومنها $h = 12$ مترًا.

عمود ارتفاعه 2 متر وظله 1.5 متر وشجرة ظلها 9 أمتار في اللحظة نفسها: أشعة الشمس متوازية فيتكوّن مثلثان قائمان متشابهان من الجسم وظله

ملاحظات مهمة

في الحالة الثالثة يجب أن تكون الزاوية محصورة بين الضلعين المتناسبين.
رتّب الرؤوس في عبارة التشابه حسب الزوايا المتطابقة قبل كتابة التناسب.
جميع المثلثات المتطابقة متشابهة بمعامل تشابه $1$ .

المفاهيم الأساسية

ز ز: تطابق زاويتين يكفي لتشابه مثلثين.
ض ض ض: تناسب الأضلاع الثلاثة المتناظرة.
ض ز ض: تناسب ضلعين وتطابق الزاوية المحصورة.
المستقيم الموازي لضلع مثلث يقطع مثلثًا مشابهًا للأصلي.

ملخص الدرس

للمثلثات ثلاث حالات للتشابه: تطابق زاويتين، أو تناسب الأضلاع الثلاثة، أو تناسب ضلعين مع تطابق الزاوية المحصورة. وبعد إثبات التشابه نكتب تناسب الأضلاع المتناظرة لحساب الأطوال، كما في قياس الارتفاعات بالظلال.

أسئلة للتدريب

مثلثان قائمان في كل منهما زاوية قياسها $35^\circ$ . هل يتشابهان؟ ولماذا؟
مثلث أضلاعه $4$ و $5$ و $7$ ، وآخر أضلاعه $8$ و $10$ و $12$ . هل يتشابهان؟
في $\triangle ABC$ ، $D \in \overline{AB}$ و $E \in \overline{AC}$ و $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ ، $AE = 3$ و $EC = 2$ و $BC = 10$ . أوجد $DE$ .
ظل برج طوله $30$ مترًا، وظل شخص طوله $1.8$ متر في الوقت نفسه $1.2$ متر. أوجد ارتفاع البرج.