ملخص النسب المثلثية لبعض الزوايا الخاصة — ثالثة إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة 3: الهندسة
الدرس: 3-5

للزوايا $30^\circ$ و $45^\circ$ و $60^\circ$ نسب مثلثية دقيقة يمكن استنتاجها بلا آلة حاسبة، من مثلثين مألوفين: المثلث المتساوي الأضلاع والمربع. هذه القيم تتكرر كثيرًا في المسائل، لذلك نستنتجها ثم نحفظها.

أهداف التعلم

أن تستنتج النسب المثلثية للزاوية $45^\circ$ من مثلث قائم متساوي الساقين.
أن تستنتج النسب المثلثية للزاويتين $30^\circ$ و $60^\circ$ من مثلث متساوي الأضلاع.
أن تحسب قيمة مقادير تحتوي نسبًا مثلثية لزوايا خاصة.
أن توظف هذه القيم في إيجاد أطوال مجهولة.

شرح الدرس

الزاوية 45°

ارسم مربعًا طول ضلعه $1$ وقطره. القطر يقسم المربع إلى مثلثين قائمين متساويي الساقين، زاويتاهما الحادتان $45^\circ$ . طول القطر $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ ، إذن:

\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \tan 45^\circ = 1

الزاويتان 30° و60°

ارسم مثلثًا متساوي الأضلاع طول ضلعه $2$ ، وارسم منه ارتفاعًا. الارتفاع ينصف القاعدة ويقسم المثلث إلى مثلثين قائمين زواياهما $30^\circ$ و $60^\circ$ و $90^\circ$ ، أضلاع كل منهما: الوتر $2$ ، والضلع الأقصر $1$ ، والارتفاع $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$ .

الضلع المقابل لـ $30^\circ$ طوله $1$ ، والمقابل لـ $60^\circ$ طوله $\sqrt{3}$ .

\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}

\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \tan 60^\circ = \sqrt{3}

مثلثان قائمان خاصان: نصف مربع ضلعه 1 زاويتاه الحادتان 45° وأضلاعه 1 و1 و√2، ونصف مثلث متساوي الأضلاع ضلعه 2 زاويتاه 30° و60° وأضلاعه 1 و√3 و2

جدول الزوايا الخاصة

النسبة	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\tan$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$1$	$\sqrt{3}$

لاحظ أن $\sin 30^\circ = \cos 60^\circ$ لأن الزاويتين متتامتان.

نتيجة: المثلث الثلاثيني الستيني

في المثلث القائم الذي إحدى زاويتيه $30^\circ$ ، طول الضلع المقابل للزاوية $30^\circ$ يساوي نصف طول الوتر.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد قيمة $\sin 30^\circ \cos 60^\circ + \cos 30^\circ \sin 60^\circ$ .

الحل: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ .

مثال 2: أثبت أن $\tan^2 60^\circ - 2\tan 45^\circ = 1$ .

الحل: $(\sqrt{3})^2 - 2(1) = 3 - 2 = 1$ .

مثال 3: سلّم طوله $6$ أمتار يستند إلى حائط رأسي ويصنع مع الأرض زاوية $60^\circ$ . أوجد ارتفاع النقطة التي يلمس عندها الحائط.

الحل: الارتفاع هو المقابل للزاوية $60^\circ$ والسلم هو الوتر: $h = 6 \sin 60^\circ = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.2$ متر.

مثال 4: أوجد قياس الزاوية الحادة $x$ إذا كان $2\sin x = 1$ .

الحل: $\sin x = \frac{1}{2}$ ، إذن $x = 30^\circ$ .

ملاحظات مهمة

$\sin^2 45^\circ$ تعني $(\sin 45^\circ)^2 = \frac{1}{2}$ ، وليست $\sin(45^\circ)^2$ .
$\frac{1}{\sqrt{3}}$ و $\frac{\sqrt{3}}{3}$ عددان متساويان؛ الصورة الثانية بعد إنطاق المقام.
جيب الزاوية الحادة يتزايد من $30^\circ$ إلى $60^\circ$ ، وجيب التمام يتناقص.

المفاهيم الأساسية

نسب $45^\circ$ مستنتجة من نصف مربع، ونسب $30^\circ$ و $60^\circ$ من نصف مثلث متساوي الأضلاع.
$\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ و $\tan 45^\circ = 1$ .
الضلع المقابل للزاوية $30^\circ$ في المثلث القائم نصف الوتر.

ملخص الدرس

استنتجنا النسب المثلثية للزوايا $30^\circ$ و $45^\circ$ و $60^\circ$ هندسيًا من المربع والمثلث المتساوي الأضلاع، ونظمناها في جدول يسهل حفظه لأن قيم الجيب تتصاعد وقيم جيب التمام تتنازل. وتفيد هذه القيم في حساب المقادير وإيجاد الأطوال في المسائل التطبيقية.

أسئلة للتدريب

أوجد قيمة: $\cos^2 45^\circ + \sin^2 30^\circ$ .
أثبت أن $\sin 60^\circ = 2 \sin 30^\circ \cos 30^\circ$ .
أوجد قياس $x$ الحادة إذا كان $\tan x = \sqrt{3}$ .
مثلث قائم وتره $10$ سم وإحدى زاويتيه الحادتين $30^\circ$ . أوجد طولي ضلعي القائمة.