ملخص مقاييس التشتت — ثالثة إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة 4: الإحصاء
الدرس: 4-1

طالبان متوسط درجاتهما في خمسة اختبارات $15$ من $20$ . الأول حصل على $15$ و $14$ و $16$ و $15$ و $15$ ، والثاني على $20$ و $8$ و $19$ و $10$ و $18$ . المتوسط واحد، لكن أداء الأول أكثر ثباتًا. مقاييس التشتت تعبر عن هذا الفرق برقم.

أهداف التعلم

أن توضح معنى التشتت ولماذا لا تكفي مقاييس النزعة المركزية وحدها.
أن تحسب المدى لمجموعة من البيانات.
أن تحسب الانحراف المعياري لمجموعة من البيانات المفردة.
أن تحسب الانحراف المعياري لتوزيع تكراري ذي مجموعات باستخدام مراكز المجموعات.
أن تقارن تشتت مجموعتين وتفسر النتيجة.

شرح الدرس

معنى التشتت

التشتت هو مدى تباعد القيم بعضها عن بعض أو عن وسطها الحسابي. كلما صغر التشتت كانت القيم أكثر تقاربًا وتجانسًا.

مخططان نقطيان لفصلين وسطهما الحسابي 15: درجات الفصل الأول متقاربة حول 15، ودرجات الفصل الثاني متباعدة بين 5 و20

المدى

\text{المدى} = \text{أكبر قيمة} - \text{أصغر قيمة}

المدى سهل الحساب، لكنه يعتمد على قيمتين فقط ويتأثر بشدة بالقيم المتطرفة.

الانحراف المعياري

الانحراف المعياري أدق مقاييس التشتت لأنه يعتمد على كل القيم. رمزه $\sigma$ ويُحسب للبيانات المفردة بالعلاقة:

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x - \bar{x})^2}{n}}

حيث $\bar{x}$ الوسط الحسابي و $n$ عدد القيم.

خطوات الحساب:

احسب الوسط الحسابي $\bar{x} = \frac{\sum x}{n}$ .
احسب انحراف كل قيمة عن الوسط $x - \bar{x}$ .
ربّع كل انحراف، ثم اجمع المربعات.
اقسم المجموع على $n$ ، ثم خذ الجذر التربيعي.

الانحراف المعياري لتوزيع تكراري

عندما تُعرض البيانات في جدول تكراري ذي مجموعات لا نعرف كل قيمة بعينها، فنمثل كل مجموعة بـمركزها $x$ (منتصف الحدين الأدنى والأعلى)، ونضرب في التكرار $f$ :

\bar{x} = \frac{\sum x f}{\sum f}, \qquad \sigma = \sqrt{\frac{\sum (x - \bar{x})^2 f}{\sum f}}

خطوات الحساب:

أوجد مركز كل مجموعة: $\frac{\text{الحد الأدنى} + \text{الحد الأعلى}}{2}$ .
احسب $x f$ لكل مجموعة، ثم الوسط الحسابي $\bar{x}$ .
احسب الانحراف $x - \bar{x}$ ومربعه، ثم اضرب المربع في التكرار.
اجمع العمود الأخير واقسمه على مجموع التكرارات، ثم خذ الجذر التربيعي.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: احسب المدى والانحراف المعياري للقيم: $4$ ، $6$ ، $8$ ، $10$ ، $12$ .

الحل: المدى $= 12 - 4 = 8$ . الوسط $\bar{x} = \frac{40}{5} = 8$ .

$x$	$x - \bar{x}$	$(x - \bar{x})^2$
$4$	$-4$	$16$
$6$	$-2$	$4$
$8$	$0$	$0$
$10$	$2$	$4$
$12$	$4$	$16$
المجموع	$0$	$40$

$\sigma = \sqrt{\frac{40}{5}} = \sqrt{8} \approx 2.83$ .

مثال 2: قارن تشتت درجات الطالبين في المقدمة.

الحل: الطالب الأول: الانحرافات $0$ ، $-1$ ، $1$ ، $0$ ، $0$ ، ومجموع مربعاتها $2$ ، فيكون $\sigma = \sqrt{\frac{2}{5}} \approx 0.63$ .

الطالب الثاني: الانحرافات $5$ ، $-7$ ، $4$ ، $-5$ ، $3$ ، ومربعاتها $25$ و $49$ و $16$ و $25$ و $9$ ومجموعها $124$ ، فيكون $\sigma = \sqrt{\frac{124}{5}} = \sqrt{24.8} \approx 4.98$ .

الانحراف المعياري للأول أصغر بكثير، إذن درجاته أكثر تجانسًا وأداؤه أكثر ثباتًا.

مثال 3 (توزيع تكراري): الجدول الآتي يبين درجات $20$ طالبًا في اختبار نهايته العظمى $50$ . احسب الانحراف المعياري.

المجموعات	$0-$	$10-$	$20-$	$30-$	$40-50$
التكرار $f$	$3$	$4$	$6$	$4$	$3$

الحل:

المركز $x$	$f$	$x f$	$x - \bar{x}$	$(x - \bar{x})^2$	$(x - \bar{x})^2 f$
$5$	$3$	$15$	$-20$	$400$	$1200$
$15$	$4$	$60$	$-10$	$100$	$400$
$25$	$6$	$150$	$0$	$0$	$0$
$35$	$4$	$140$	$10$	$100$	$400$
$45$	$3$	$135$	$20$	$400$	$1200$
المجموع	$20$	$500$			$3200$

$\bar{x} = \frac{500}{20} = 25$ ، و $\sigma = \sqrt{\frac{3200}{20}} = \sqrt{160} \approx 12.65$ درجة.

ملاحظات مهمة

مجموع الانحرافات عن الوسط الحسابي يساوي صفرًا دائمًا؛ استخدمه للتحقق من حسابك.
الانحراف المعياري لا يكون سالبًا، ويساوي صفرًا فقط إذا تساوت كل القيم.
وحدة الانحراف المعياري هي وحدة البيانات نفسها.
في التوزيع التكراري لا تنسَ الضرب في التكرار $f$ ، ولا تقسم على عدد المجموعات بل على مجموع التكرارات.

المفاهيم الأساسية

التشتت يقيس تباعد القيم، ويكمل المتوسطات في وصف البيانات.
المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة.
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x - \bar{x})^2}{n}}$ للبيانات المفردة، و $\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x - \bar{x})^2 f}{\sum f}}$ للتوزيع التكراري باستخدام مراكز المجموعات.
الانحراف المعياري الأصغر يعني بيانات أكثر تجانسًا.

ملخص الدرس

لا يكفي الوسط الحسابي لوصف البيانات؛ فقد تتساوى المتوسطات وتختلف درجة التقارب. المدى مقياس سريع للتشتت لكنه يتأثر بالقيم المتطرفة، أما الانحراف المعياري فيعتمد على جميع القيم ويُحسب بجذر متوسط مربعات الانحرافات عن الوسط، وكلما صغر دل على تجانس أكبر.

أسئلة للتدريب

احسب المدى للقيم: $23$ ، $17$ ، $31$ ، $19$ ، $25$ .
احسب الانحراف المعياري للقيم: $2$ ، $4$ ، $6$ ، $8$ .
مجموعتان لهما الوسط نفسه، انحرافهما المعياري $1.5$ و $3.2$ . أيهما أكثر تجانسًا؟
لماذا يكون المدى مقياسًا غير دقيق إذا وُجدت قيمة متطرفة؟ اشرح بمثال من عندك.
احسب الانحراف المعياري للتوزيع التكراري: المجموعات $10-$ ، $20-$ ، $30-40$ وتكراراتها $2$ ، $6$ ، $2$ .