ملخص العلاقة بين ميلَي المستقيمين المتوازيين والمتعامدين — ثالثة إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة 3: الهندسة
الدرس: 3-6

الميل عدد يصف مقدار انحدار المستقيم واتجاهه. إذا عرفنا ميلي مستقيمين أمكننا أن نحكم، بالحساب فقط، هل هما متوازيان أم متعامدان، دون رسم دقيق.

أهداف التعلم

أن تحسب ميل مستقيم يمر بنقطتين معلومتين.
أن تربط الميل بظل زاوية ميل المستقيم.
أن تستخدم شرط التوازي $m_1 = m_2$ .
أن تستخدم شرط التعامد $m_1 \times m_2 = -1$ .

شرح الدرس

ميل المستقيم

ميل المستقيم المار بالنقطتين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ حيث $x_1 \neq x_2$ هو:

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

الميل الموجب: المستقيم صاعد من اليسار إلى اليمين.
الميل السالب: المستقيم هابط.
الميل صفر: المستقيم أفقي (يوازي محور السينات).
المستقيم الرأسي (يوازي محور الصادات) ميله غير معرّف.

أربعة مستقيمات: الميل الموجب لمستقيم صاعد، والميل السالب لمستقيم هابط، والميل صفر لمستقيم أفقي، والمستقيم الرأسي ميله غير معرّف

الميل وزاوية الميل

إذا صنع المستقيم مع الاتجاه الموجب لمحور السينات زاوية قياسها $\theta$ فإن $m = \tan \theta$ . فمستقيم زاوية ميله $45^\circ$ ميله $\tan 45^\circ = 1$ .

شرط التوازي

المستقيمان غير الرأسيين متوازيان إذا وفقط إذا تساوى ميلاهما:

L_1 \parallel L_2 \iff m_1 = m_2

فالمستقيمان المتوازيان يصنعان الزاوية نفسها مع محور السينات.

شرط التعامد

المستقيمان غير الرأسيين وغير الأفقيين متعامدان إذا وفقط إذا كان حاصل ضرب ميليهما $-1$ :

L_1 \perp L_2 \iff m_1 \times m_2 = -1

أي أن ميل أحدهما هو سالب مقلوب ميل الآخر: إذا كان $m_1 = \frac{2}{3}$ فإن $m_2 = -\frac{3}{2}$ . ويتعامد أيضًا كل مستقيم أفقي مع كل مستقيم رأسي.

مستقيمان متوازيان لهما الميل نفسه m₁ = m₂، ومستقيمان متعامدان حاصل ضرب ميليهما m₁ × m₂ = −1

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين $(1, 2)$ و $(4, 11)$ .

الحل: $m = \frac{11 - 2}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$ .

مثال 2: أثبت أن المستقيم المار بالنقطتين $(0, 1)$ و $(2, 5)$ يوازي المستقيم المار بالنقطتين $(-1, -3)$ و $(1, 1)$ .

الحل: $m_1 = \frac{4}{2} = 2$ و $m_2 = \frac{4}{2} = 2$ . الميلان متساويان، إذن المستقيمان متوازيان (أو منطبقان؛ وبالتعويض يتبين أن $(-1, -3)$ لا تقع على الأول، فهما متوازيان فعلًا).

مثال 3: أثبت أن المثلث الذي رؤوسه $A(1, 1)$ و $B(4, 3)$ و $C(2, 6)$ قائم الزاوية في $B$ .

الحل: ميل $\overline{AB} = \frac{3 - 1}{4 - 1} = \frac{2}{3}$ ، وميل $\overline{BC} = \frac{6 - 3}{2 - 4} = -\frac{3}{2}$ . حاصل الضرب $\frac{2}{3} \times \left(-\frac{3}{2}\right) = -1$ ، إذن $\overline{AB} \perp \overline{BC}$ والمثلث قائم في $B$ .

مثال 4: إذا كان المستقيم الذي ميله $\frac{k}{2}$ عموديًا على المستقيم الذي ميله $4$ ، فأوجد $k$ .

الحل: $\frac{k}{2} \times 4 = -1$ ، إذن $2k = -1$ و $k = -\frac{1}{2}$ .

ملاحظات مهمة

احرص على طرح الإحداثيات بالترتيب نفسه في البسط والمقام.
تساوي الميلين قد يعني أيضًا انطباق المستقيمين؛ تحقق بنقطة.
شرط $m_1 m_2 = -1$ لا ينطبق على مستقيم رأسي لأن ميله غير معرّف.

المفاهيم الأساسية

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ و $m = \tan \theta$ .
التوازي: $m_1 = m_2$ .
التعامد: $m_1 \times m_2 = -1$ .
الأفقي ميله صفر، والرأسي ميله غير معرّف.

ملخص الدرس

الميل يقيس انحدار المستقيم ويساوي ظل زاوية ميله. يتوازى المستقيمان عندما يتساوى ميلاهما، ويتعامدان عندما يكون حاصل ضرب ميليهما $-1$ . وبهذين الشرطين نثبت خواص الأشكال الهندسية في المستوى الإحداثي حسابيًا.

أسئلة للتدريب

أوجد ميل المستقيم المار بالنقطتين $(-2, 5)$ و $(3, -5)$ .
ما ميل المستقيم العمودي على مستقيم ميله $-\frac{1}{4}$ ؟
أثبت أن الشكل الذي رؤوسه $(0, 0)$ و $(4, 0)$ و $(5, 3)$ و $(1, 3)$ متوازي أضلاع.
مستقيم يصنع مع الاتجاه الموجب لمحور السينات زاوية $60^\circ$ . أوجد ميله وميل المستقيم العمودي عليه.