ملخص التمدد — ثالثة إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة 3: الهندسة
الدرس: 3-3

عندما تكبّر صورة على شاشة الهاتف بإصبعين، يكبر كل شيء بالنسبة نفسها ويحافظ على شكله. هذا بالضبط ما يفعله التمدد في الهندسة: تحويل ينتج شكلًا مشابهًا للأصل.

أهداف التعلم

أن تعرّف التمدد ومركزه ومعامله.
أن تميز التكبير من التصغير من قيمة المعامل.
أن تجد صورة نقطة أو مضلع بالتمدد الذي مركزه نقطة الأصل.
أن تستنتج أن صورة الشكل بالتمدد تشابه الشكل الأصلي.

شرح الدرس

تعريف التمدد

التمدد الذي مركزه النقطة $O$ ومعامله $k$ (حيث $k \neq 0$ ) تحويل هندسي يرسل كل نقطة $A$ إلى صورتها $A'$ على الشعاع $\overrightarrow{OA}$ بحيث:

OA' = |k| \times OA

وإذا كان $k$ سالبًا تقع الصورة على امتداد الشعاع في الاتجاه المعاكس لـ $A$ بالنسبة إلى $O$ .

أنواع التمدد حسب المعامل

قيمة $\lvert k \rvert$	نوع التمدد
$\lvert k \rvert \gt 1$	تكبير
$0 \lt \lvert k \rvert \lt 1$	تصغير
$\lvert k \rvert = 1$	تطابق (الصورة بالحجم نفسه)

التمدد في المستوى الإحداثي

إذا كان مركز التمدد نقطة الأصل $O(0, 0)$ ومعامله $k$ فإن:

(x, y) \longrightarrow (kx, ky)

أي نضرب الإحداثيين كليهما في المعامل.

مثلث أزرق وصورته الخضراء بتمدد مركزه نقطة الأصل O ومعامله 2: كل نقطة (x, y) تنتقل إلى (2x, 2y) وتقع الصورة على الشعاع المار بالأصل والنقطة

خواص التمدد

صورة القطعة المستقيمة قطعة مستقيمة طولها $|k|$ مرة طول الأصل.
يحافظ التمدد على قياسات الزوايا، وعلى التوازي.
صورة المضلع مضلع مشابه له، ومعامل التشابه $|k|$ .
مركز التمدد صورته هو نفسه.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: أوجد صورة النقطة $A(3, -2)$ بالتمدد $D(O, 2)$ .

الحل: $A' = (2 \times 3, 2 \times (-2)) = (6, -4)$ .

مثال 2: المثلث $ABC$ رؤوسه $A(4, 0)$ و $B(0, 8)$ و $C(-4, 4)$ . أوجد صورته بالتمدد $D(O, \frac{1}{2})$ .

الحل: $A'(2, 0)$ و $B'(0, 4)$ و $C'(-2, 2)$ . هذا تصغير، والمثلث الناتج يشابه الأصلي بمعامل $\frac{1}{2}$ .

مثال 3: صورة النقطة $(5, 10)$ بتمدد مركزه نقطة الأصل هي $(-15, -30)$ . أوجد معامل التمدد.

الحل: $k = \frac{-15}{5} = -3$ . المعامل سالب، فالصورة في الجهة المقابلة من نقطة الأصل، وهو تكبير لأن $|k| = 3$ .

مثال 4: قطعة مستقيمة طولها $6$ سم. ما طول صورتها بالتمدد الذي معامله $-\frac{2}{3}$ ؟

الحل: الطول $= \left|-\frac{2}{3}\right| \times 6 = 4$ سم.

ملاحظات مهمة

الإشارة السالبة للمعامل لا تعني تصغيرًا؛ الحجم يحدده $|k|$ .
القاعدة $(kx, ky)$ صحيحة فقط عندما يكون المركز نقطة الأصل.
التمدد لا يحافظ على الأطوال (إلا إذا $|k| = 1$ ) لكنه يحافظ على الشكل.

مثال إضافي: مركز التمدد نقطة الأصل ومعامله $k=\frac{1}{2}$ . صورة النقطة $A(6,-4)$ هي $A'(3,-2)$ ؛ لأننا نضرب كل إحداثي في نصف. تقع الصورة أقرب إلى المركز، وهذا يوافق كون القيمة المطلقة للمعامل أقل من الواحد.

تطبيق على شكل: مثلث رؤوسه $(0,0)$ و $(4,0)$ و $(0,2)$ . عند تمدده بمعامل $2$ حول الأصل تصبح الرؤوس $(0,0)$ و $(8,0)$ و $(0,4)$ . تتضاعف الأطوال، وتبقى الزوايا المتناظرة متساوية؛ لذلك يظل المثلثان متشابهين. وتتضاعف المساحة أربع مرات؛ لأن المساحات تتغير بمربع معامل التمدد.

التمدد حول مركز غير الأصل: لا نضرب الإحداثيات مباشرة. نحدد المتجه من المركز إلى النقطة، ونضربه في المعامل، ثم نضيف الناتج إلى إحداثيات المركز. فإذا كان المركز $(1,1)$ والنقطة $(3,2)$ فالمتجه $(2,1)$ ؛ وعند المعامل $2$ تصبح الصورة $(5,3)$ .

أخطاء شائعة: الإشارة السالبة لا تعني تصغيرًا؛ القيمة المطلقة تحدد الحجم، والإشارة تحدد الجهة بالنسبة إلى المركز. كذلك لا تستخدم قاعدة ضرب الإحداثيين إلا عندما يكون المركز نقطة الأصل، ولا تضرب المساحة في معامل الطول مرة واحدة؛ بل في مربعه.

تدريب بإجابة: صورة النقطة $(-3,5)$ بتمدد مركزه الأصل ومعامله $-2$ هي $(6,-10)$ . الإشارة السالبة تضع الصورة في الجهة المقابلة للمركز، والقيمة المطلقة $2$ تضاعف بعدها عنه.

المفاهيم الأساسية

التمدد يحدده مركز $O$ ومعامل $k \neq 0$ .
$|k| \gt 1$ تكبير، $0 \lt |k| \lt 1$ تصغير.
بالمركز $O(0,0)$ : $(x, y) \to (kx, ky)$ .
صورة الشكل بالتمدد تشابه الأصل بمعامل $|k|$ .

ملخص الدرس

التمدد تحويل يكبّر الأشكال أو يصغّرها بالنسبة لنقطة ثابتة هي مركزه، ومقدار التغير يحدده معامله. وعندما يكون المركز نقطة الأصل نضرب إحداثيي كل نقطة في المعامل. وبما أن التمدد يحافظ على الزوايا ويضرب كل الأطوال في العدد نفسه، فصورة أي شكل تشابه الأصل.

أسئلة للتدريب

أوجد صورة النقطة $(-6, 9)$ بالتمدد $D(O, \frac{1}{3})$ .
المربع $ABCD$ رؤوسه $(1, 1)$ و $(3, 1)$ و $(3, 3)$ و $(1, 3)$ . أوجد صورته بالتمدد $D(O, 2)$ ، ثم قارن مساحتي المربعين.
إذا كانت صورة $(4, -8)$ هي $(-2, 4)$ بتمدد مركزه نقطة الأصل، فما معامله؟ وهل هو تكبير أم تصغير؟
لماذا يكون المثلث وصورته بالتمدد متشابهين دائمًا؟