ملخص العمليات على الكسور الجبرية النسبية — ثالثة إعدادي

مقدمة

الوحدة: الوحدة 2: الجبر
الدرس: 2-5

تجمع الكسور العددية بتوحيد المقامات، وتضربها بضرب البسطين والمقامين. العمليات على الكسور الجبرية تسير بالقواعد نفسها، مع خطوة إضافية لا تُهمل: تعيين المجال لكل ناتج.

أهداف التعلم

أن تجمع كسرين جبريين وتطرحهما وتضع الناتج في أبسط صورة.
أن تضرب كسرين جبريين وتقسمهما.
أن تعيّن مجال ناتج كل عملية.
أن تجد المعكوس الضربي لكسر جبري ومجاله.

شرح الدرس

الجمع والطرح

حلّل البسط والمقام في كل كسر.
عيّن المجال المشترك (استبعد أصفار كل المقامات).
اختصر كل كسر إن أمكن.
وحّد المقامات باستخدام المضاعف المشترك الأصغر، ثم اجمع أو اطرح البسطين.
اختصر الناتج لأبسط صورة.

مثال: $\frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 1}$ ، المجال $\mathbb{R} - \{1, -1\}$ :

\frac{2(x + 1) + 3(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{5x - 1}{x^2 - 1}

الضرب

نضرب البسطين معًا والمقامين معًا بعد التحليل والاختصار. المجال هو المجال المشترك للكسرين (أصفار المقامين).

القسمة والمعكوس الضربي

المعكوس الضربي للكسر $n(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ هو $n^{-1}(x) = \frac{q(x)}{p(x)}$ ، ومجاله $\mathbb{R} - (z(p) \cup z(q))$ لأن الكسر الأصلي يجب أن يكون معرّفًا وغير صفري.

والقسمة ضرب في المعكوس:

n_1 \div n_2 = n_1 \times n_2^{-1}

ومجال خارج القسمة $\mathbb{R} -$ (أصفار مقام $n_1$ ∪ أصفار مقام $n_2$ ∪ أصفار بسط $n_2$ ).

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (طرح): اختصر $\frac{x}{x - 3} - \frac{3}{x - 3}$ .

الحل: المجال $\mathbb{R} - \{3\}$ . الناتج $\frac{x - 3}{x - 3} = 1$ لكل $x \neq 3$ .

مثال 2 (جمع مع اختصار): اختصر $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 2x} + \frac{2}{x}$ .

الحل: $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x(x + 2)} = \frac{x - 2}{x}$ . المجال المشترك $\mathbb{R} - \{0, -2\}$ . الناتج $\frac{x - 2 + 2}{x} = \frac{x}{x} = 1$ على المجال $\mathbb{R} - \{0, -2\}$ .

مثال 3 (ضرب): اختصر $\frac{x^2 - 9}{x^2 - x} \times \frac{x - 1}{x + 3}$ .

الحل: $\frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x - 1)} \times \frac{x - 1}{x + 3} = \frac{x - 3}{x}$ . المجال $\mathbb{R} - \{0, 1, -3\}$ .

مثال 4 (قسمة): اختصر $\frac{x + 2}{x - 5} \div \frac{x^2 - 4}{x - 5}$ .

الحل: المستبعد: صفر المقام الأول $5$ ، وصفر المقام الثاني $5$ ، وصفرا البسط الثاني $2$ و $-2$ . المجال $\mathbb{R} - \{5, 2, -2\}$ .

\frac{x + 2}{x - 5} \times \frac{x - 5}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{1}{x - 2}

مثال 5: أوجد $n^{-1}$ ومجاله إذا كان $n(x) = \frac{x - 4}{x + 1}$ .

الحل: $n^{-1}(x) = \frac{x + 1}{x - 4}$ ، ومجاله $\mathbb{R} - \{-1, 4\}$ .

ملاحظات مهمة

في القسمة لا تنسَ استبعاد أصفار بسط الكسر المقسوم عليه.
وحّد المقامات في الجمع والطرح فقط؛ في الضرب لا حاجة لذلك.
ضع أقواسًا حول البسط عند الطرح: $\frac{a}{c} - \frac{b + 1}{c} = \frac{a - b - 1}{c}$ .

المفاهيم الأساسية

الجمع والطرح: مجال مشترك، ثم توحيد المقامات، ثم اختصار.
الضرب: مجال مشترك، ثم تحليل واختصار ثم ضرب.
المعكوس الضربي لـ $\frac{p}{q}$ هو $\frac{q}{p}$ ومجاله يستبعد أصفار $p$ و $q$ .
القسمة ضرب في المعكوس الضربي.

ملخص الدرس

تُجرى العمليات على الكسور الجبرية كما تُجرى على الكسور العددية، لكن بعد التحليل وتعيين المجال. في الجمع والطرح نوحّد المقامات، وفي الضرب نحذف العوامل المشتركة، وفي القسمة نضرب في المعكوس الضربي مع استبعاد أصفار بسط المقسوم عليه أيضًا.

أسئلة للتدريب

اختصر مع تعيين المجال: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2}$ .
اختصر: $\frac{x^2 - 1}{x + 3} \times \frac{2x + 6}{x - 1}$ .
اختصر: $\frac{x^2 - 16}{x} \div \frac{x + 4}{x^2}$ .
أوجد المعكوس الضربي لـ $n(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ في أبسط صورة وعيّن مجاله.