أسئلة: مقاييس التشتت

الإجابة الصحيحة: أكبر قيمة − أصغر قيمة

المدى هو الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة؛ أما مجموع القيم على عددها فهو الوسط الحسابي.

الإجابة الصحيحة: $9$

المدى $= 12 - 3 = 9$.

الإجابة الصحيحة: $\sigma$

$\sigma$ رمز الانحراف المعياري، و$\bar{x}$ الوسط الحسابي، و$\sum$ رمز المجموع.

الإجابة الصحيحة: صواب

الانحرافات الموجبة والسالبة تلغي بعضها، ويُستخدم ذلك للتحقق من الحساب.

الإجابة الصحيحة: خطأ

الانحراف المعياري جذر تربيعي لمجموع مربعات، فلا يكون سالبًا أبدًا.

الإجابة الصحيحة: عندما تتساوى كل القيم

إذا تساوت القيم كلها تكون كل الانحرافات عن الوسط صفرًا.

الإجابة الصحيحة: يعتمد على قيمتين فقط ويتأثر بشدة بالقيم المتطرفة

المدى سهل لكنه لا يعكس توزيع القيم الوسطى، وتغيّره قيمة متطرفة واحدة.

الإجابة الصحيحة: $\sqrt{8} \approx 2.83$

الوسط $6$، ومربعات الانحرافات $16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40$، و$\sigma = \sqrt{\frac{40}{5}} = \sqrt{8}$.

الإجابة الصحيحة: $0$

القيم متساوية فكل انحراف عن الوسط $5$ يساوي صفرًا.

الإجابة الصحيحة: $2$

الوسط $5$، والانحرافان $-2$ و$2$، ومجموع مربعيهما $8$، و$\sigma = \sqrt{\frac{8}{2}} = 2$.

الإجابة الصحيحة: درجات الفصل الأول أكثر تجانسًا

الانحراف المعياري الأصغر يدل على قيم أكثر تقاربًا حول الوسط.

الإجابة الصحيحة: السنتيمتر

وحدة الانحراف المعياري هي وحدة البيانات نفسها لأننا نأخذ الجذر التربيعي بعد التربيع.

الإجابة الصحيحة: $\sqrt{2} \approx 1.41$

الوسط $3$، ومربعات الانحرافات $4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$، و$\sigma = \sqrt{\frac{10}{5}} = \sqrt{2}$.

الإجابة الصحيحة: $\sqrt{5} \approx 2.24$

الوسط $9$، والانحرافات $-3$ و$-1$ و$1$ و$3$، ومربعاتها مجموعها $20$، و$\sigma = \sqrt{\frac{20}{4}} = \sqrt{5}$.

الإجابة الصحيحة: المدى متساوٍ لكن الانحراف المعياري للمجموعة (أ) أصغر

المدى $16$ في كلتيهما والوسط $10$. مجموع مربعات الانحرافات في (أ) $64 + 0 + 0 + 0 + 64 = 128$ وفي (ب) $64 + 16 + 0 + 16 + 64 = 160$، فانحراف (أ) أصغر، وهذا يبين قصور المدى.

الإجابة الصحيحة: الوسط $25$ والانحراف المعياري $\sqrt{40} \approx 6.32$

المراكز $15$ و$25$ و$35$، و$\bar{x} = \frac{30 + 150 + 70}{10} = 25$. مجموع $(x - \bar{x})^2 f$ هو $200 + 0 + 200 = 400$، فيكون $\sigma = \sqrt{\frac{400}{10}} = \sqrt{40}$. الخطأ الشائع نسيان القسمة على مجموع التكرارات أو القسمة على عدد المجموعات.

التشتت هو مدى تباعد القيم بعضها عن بعض أو عن وسطها الحسابي. ولا يكفي الوسط الحسابي لأن مجموعتين قد يكون لهما الوسط نفسه مع اختلاف كبير في تقارب القيم؛ فمثلًا القيم $10$ و$10$ و$10$ والقيم $0$ و$10$ و$20$ وسطها $10$، لكن الأولى متجانسة تمامًا والثانية متباعدة.

المدى $= 11 - 3 = 8$. الوسط $\bar{x} = \frac{35}{5} = 7$. الانحرافات: $-4$، $-2$، $0$، $2$، $4$ (مجموعها صفر ✓)، ومربعاتها $16$، $4$، $0$، $4$، $16$ ومجموعها $40$. $\sigma = \sqrt{\frac{40}{5}} = \sqrt{8} \approx 2.83$.

الوسط $\bar{x} = \frac{50}{5} = 10$. الانحرافات: $-4$، $-1$، $0$، $1$، $4$، ومربعاتها $16$، $1$، $0$، $1$، $16$ ومجموعها $34$. $\sigma = \sqrt{\frac{34}{5}} = \sqrt{6.8} \approx 2.61$.

العامل (أ): الوسط $\frac{100}{5} = 20$، والانحرافات $0$، $2$، $-2$، $1$، $-1$، ومجموع مربعاتها $0 + 4 + 4 + 1 + 1 = 10$، و$\sigma = \sqrt{2} \approx 1.41$. العامل (ب): الوسط $\frac{100}{5} = 20$، والانحرافات $5$، $-5$، $8$، $-8$، $0$، ومجموع مربعاتها $25 + 25 + 64 + 64 + 0 = 178$، و$\sigma = \sqrt{35.6} \approx 5.97$. للعاملين الوسط نفسه، لكن الانحراف المعياري للعامل (أ) أصغر بكثير، فإنتاجه أكثر انتظامًا.

المراكز: $5$ و$15$ و$25$. حاصل ضرب المركز في التكرار: $15$ و$60$ و$75$، ومجموعها $150$، فيكون $\bar{x} = \frac{150}{10} = 15$ سنة. الانحرافات: $-10$ و$0$ و$10$، ومربعاتها $100$ و$0$ و$100$، وبالضرب في التكرارات: $300$ و$0$ و$300$، ومجموعها $600$. إذن $\sigma = \sqrt{\frac{600}{10}} = \sqrt{60} \approx 7.75$ سنة.