أسئلة: الدالة التربيعية

الإجابة الصحيحة: $a \neq 0$

إذا كان $a = 0$ أصبحت الدالة خطية، لذلك يشترط $a \neq 0$.

الإجابة الصحيحة: القطع المكافئ

منحنى الدالة التربيعية قطع مكافئ متماثل حول محور رأسي.

الإجابة الصحيحة: لأسفل

$a = -2 < 0$ فالمنحنى مفتوح لأسفل وللدالة قيمة عظمى.

الإجابة الصحيحة: $x = \frac{-b}{2a}$

الإحداثي السيني للرأس ومعادلة محور التماثل هما $x = \frac{-b}{2a}$.

الإجابة الصحيحة: $(0, 6)$

عند $x = 0$ يكون $f(0) = c = 6$، فالنقطة $(0, 6)$.

الإجابة الصحيحة: $x = 3$

$x = \frac{-(-6)}{2 \times 1} = 3$.

الإجابة الصحيحة: $(2, -3)$

$x = \frac{4}{2} = 2$ و$f(2) = 4 - 8 + 1 = -3$.

الإجابة الصحيحة: $4$

الرأس عند $x = -1$ و$f(-1) = 1 - 2 + 5 = 4$؛ والقيمة الصغرى هي قيمة $f(x)$ لا قيمة $x$.

الإجابة الصحيحة: $9$

$x = \frac{-6}{2(-1)} = 3$ و$f(3) = -9 + 18 = 9$.

الإجابة الصحيحة: $x = 3$

النقطتان المتساويتان في قيمة $f(x)$ تقعان على بعدين متساويين من المحور، فالمحور في المنتصف: $x = \frac{1+5}{2} = 3$.

الإجابة الصحيحة: $f(x) = 5 - x^{2}$

الدالة التربيعية لها قيمة عظمى عندما يكون معامل $x^2$ سالبًا، وهو $-1$ في $f(x) = 5 - x^2$.

الإجابة الصحيحة: خطأ

عندما $a = 0$ تصبح الدالة $f(x) = bx + c$ وهي دالة خطية منحناها مستقيم.

الإجابة الصحيحة: $45$ مترًا

أقصى ارتفاع عند $t = \frac{-30}{2(-5)} = 3$، و$h(3) = -45 + 90 = 45$ مترًا.

الإجابة الصحيحة: $(2, 0)$ و$(-2, 0)$

نضع $f(x) = 0$: $x^2 = 4$ ومنها $x = 2$ أو $x = -2$؛ أما $(0, -4)$ فهي نقطة التقاطع مع محور الصادات.

الإجابة الصحيحة: $-4$

$\frac{-b}{2 \times 1} = 2$ ومنها $-b = 4$ أي $b = -4$.

من إشارة معامل $x^2$ وهو $a$: إذا كان $a > 0$ فالمنحنى مفتوح لأعلى وللدالة قيمة صغرى عند الرأس، وإذا كان $a < 0$ فالمنحنى مفتوح لأسفل وللدالة قيمة عظمى عند الرأس. والقيمة القصوى هي الإحداثي الصادي للرأس.

$x = \frac{-4}{2} = -2$ و$f(-2) = 4 - 8 + 3 = -1$، إذن الرأس $(-2, -1)$. معادلة محور التماثل $x = -2$. القيمة الصغرى $-1$ (لأن $a = 1 > 0$). نقطة التقاطع مع محور الصادات $(0, 3)$.

القيم: $f(-2) = -5$، $f(-1) = 0$، $f(0) = 3$، $f(1) = 4$، $f(2) = 3$، $f(3) = 0$، $f(4) = -5$. المنحنى مفتوح لأسفل لأن $a = -1 < 0$. الرأس $(1, 4)$ والقيمة العظمى $4$ ومعادلة محور التماثل $x = 1$، ويظهر التماثل في الجدول: $f(0) = f(2)$ و$f(-1) = f(3)$.

مجموع البعدين نصف المحيط $= 10$، فالبعد الآخر $10 - x$. المساحة $A(x) = x(10 - x) = -x^2 + 10x$، وهي دالة تربيعية معامل $x^2$ فيها سالب فلها قيمة عظمى. الرأس عند $x = \frac{-10}{2(-1)} = 5$، و$A(5) = -25 + 50 = 25$. إذن البعدان $5$ أمتار و$5$ أمتار (مربع)، وأكبر مساحة $25$ مترًا مربعًا.