أسئلة: مجموعة الأصفار الحقيقية لدوال كثيرات الحدود

الإجابة الصحيحة: $f(a) = 0$

صفر الدالة هو قيمة $x$ التي تجعل $f(x) = 0$.

الإجابة الصحيحة: $\{4\}$

نضع $3x - 12 = 0$ ومنها $x = 4$.

الإجابة الصحيحة: $\varnothing$

الدالة الثابتة غير الصفرية لا تساوي صفرًا لأي قيمة لـ $x$، فمجموعة أصفارها خالية.

الإجابة الصحيحة: $\{4, -4\}$

$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) = 0$، إذن $x = 4$ أو $x = -4$.

الإجابة الصحيحة: صواب

عند نقاط التقاطع مع محور السينات يكون $f(x) = 0$، وهذا هو التفسير البياني للأصفار.

الإجابة الصحيحة: $\{2, 5\}$

$x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)$، إذن $z(f) = \{2, 5\}$.

الإجابة الصحيحة: $\varnothing$

$x^2 + 9 \geq 9$ لكل عدد حقيقي، فلا يمكن أن تساوي صفرًا.

الإجابة الصحيحة: $\{3\}$

$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$، فالصفر الوحيد $3$ والمنحنى يمس محور السينات.

الإجابة الصحيحة: $\{0, -2\}$

$3x(x + 2) = 0$ فيكون $x = 0$ أو $x = -2$.

الإجابة الصحيحة: $\{0, 3, -3\}$

$x(x^2 - 9) = x(x - 3)(x + 3)$، فالأصفار $0$ و$3$ و$-3$.

الإجابة الصحيحة: عنصر واحد

الأصفار هي الإحداثيات السينية لنقاط التقاطع أو التماس مع محور السينات، فنقطة واحدة تعني صفرًا واحدًا.

الإجابة الصحيحة: $3$

عدد أصفار دالة كثيرة الحدود لا يزيد على درجتها.

الإجابة الصحيحة: $-6$

$f(2) = 4 + 2k + 8 = 0$ ومنها $2k = -12$ أي $k = -6$. التحقق: $x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)$.

الإجابة الصحيحة: $\{0, 4, -3\}$

$x(x^2 - x - 12) = x(x - 4)(x + 3)$، فالأصفار $0$ و$4$ و$-3$.

الإجابة الصحيحة: $\{0, 2, -2\}$

القسمة على $x$ تُسقط الصفر $x = 0$؛ والصحيح $x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2) = 0$.

العدد $a$ صفر للدالة $f$ إذا كان $f(a) = 0$، ومجموعة الأصفار الحقيقية $z(f)$ هي مجموعة كل قيم $x$ الحقيقية التي تجعل $f(x) = 0$. وبيانيًا هي الإحداثيات السينية لنقاط تقاطع منحنى الدالة مع محور السينات.

$f(x) = (x - 5)(x + 4)$، إذن $z(f) = \{5, -4\}$. $g(x) = 2(x^2 - 9) = 2(x - 3)(x + 3)$، إذن $z(g) = \{3, -3\}$.

نخرج $x$ عاملًا مشتركًا: $f(x) = x(x^2 + x - 6) = x(x + 3)(x - 2)$. إذن $z(f) = \{0, -3, 2\}$.

بما أن $-2$ و$5$ صفران فإن $f(x) = (x + 2)(x - 5) = x^2 - 3x - 10$، إذن $a = -3$ و$b = -10$. التحقق: $f(-2) = 4 + 6 - 10 = 0$ و$f(5) = 25 - 15 - 10 = 0$ ✓.