أسئلة: دوال الكسور الجبرية النسبية

الإجابة الصحيحة: $\mathbb{R} - \{4\}$

نستبعد صفر المقام: $x - 4 = 0$ عندما $x = 4$.

الإجابة الصحيحة: $\mathbb{R} - \{5, -5\}$

أصفار المقام $(x - 5)(x + 5)$ هي $5$ و$-5$.

الإجابة الصحيحة: $\mathbb{R}$

المقام $x^2 + 4$ لا يساوي صفرًا لأي عدد حقيقي، فلا نستبعد شيئًا.

الإجابة الصحيحة: $q$ ليست الدالة الصفرية

لا يصح أن يكون المقام الدالة الصفرية لأن القسمة على صفر غير معرّفة.

الإجابة الصحيحة: خطأ

يُعيَّن المجال من المقام الأصلي قبل الاختصار، لأن الاختصار قد يخفي بعض أصفار المقام.

الإجابة الصحيحة: $\frac{x - 1}{x}$

$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x(x + 1)} = \frac{x - 1}{x}$ بحذف العامل المشترك $(x + 1)$.

الإجابة الصحيحة: $\mathbb{R} - \{0, -1\}$

أصفار المقام الأصلي $x(x + 1)$ هي $0$ و$-1$، ويبقى $-1$ مستبعدًا حتى بعد الاختصار.

الإجابة الصحيحة: $-\frac{1}{3}$

$n(2) = \frac{2 - 3}{2 + 1} = \frac{-1}{3}$.

الإجابة الصحيحة: $\mathbb{R} - \{3, -2\}$

$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$، فأصفار المقام $3$ و$-2$.

الإجابة الصحيحة: $-1$

$3 - x = -(x - 3)$، فيكون الكسر $\frac{-(x - 3)}{x - 3} = -1$.

الإجابة الصحيحة: خطأ

الاختصار يكون بحذف العوامل المشتركة لا الحدود، و$x$ في البسط حد وليس عاملًا.

الإجابة الصحيحة: $\frac{x}{x + 4}$ والمجال $\mathbb{R} - \{4, -4\}$

$\frac{x(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{x}{x + 4}$، والمجال من المقام الأصلي $\mathbb{R} - \{4, -4\}$.

الإجابة الصحيحة: $-3$

$x^2 + kx = x(x + k)$ وأصفاره $0$ و$-k$، إذن $-k = 3$ أي $k = -3$.

الإجابة الصحيحة: $n(-3)$ غير معرّفة لأن $-3$ صفر للمقام الأصلي

المقام الأصلي $x(x + 3)$ يساوي صفرًا عند $-3$، فلا ينتمي $-3$ إلى المجال رغم أن الصورة المختصرة $\frac{2}{x}$.

الإجابة الصحيحة: $4$

عندما $b = 4$ يكون $x^2 + 4 \geq 4$ فلا يساوي المقام صفرًا؛ أما القيم الأخرى فتجعل للمقام أصفارًا حقيقية.

إذا كانت $p$ و$q$ دالتي كثيرتي حدود و$q$ ليست الدالة الصفرية، فإن $n(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ دالة كسر جبري نسبي. ولتعيين مجالها: نحلل المقام، ونوجد أصفاره $z(q)$، ثم نطرحها من $\mathbb{R}$، فيكون المجال $\mathbb{R} - z(q)$.

$x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$، فالمجال $\mathbb{R} - \{3, 4\}$. و$5$ ينتمي إلى المجال: $n(5) = \frac{9}{25 - 35 + 12} = \frac{9}{2}$.

المجال من المقام الأصلي: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$، فالمجال $\mathbb{R} - \{5, -5\}$. البسط $x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)$، إذن $n(x) = \frac{(x - 5)(x + 3)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{x + 3}{x + 5}$.

لأن الاختصار يحذف عوامل مشتركة من المقام، فتختفي بعض أصفاره من الصورة المختصرة مع أن الدالة الأصلية غير معرّفة عندها. في المثال: $n(x) = \frac{x(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x}{x + 3}$. المجال الصحيح من المقام الأصلي هو $\mathbb{R} - \{3, -3\}$، ولو عيّناه من الصورة المختصرة لاستبعدنا $-3$ فقط وأخطأنا بإدخال $3$ في المجال، مع أن $n(3)$ تؤدي إلى القسمة على صفر في الصورة الأصلية.