أسئلة: المعادلات الأسية

الإجابة الصحيحة: $2^{x} = 16$

المعادلة الأسية يظهر فيها المجهول في الأس، أما $x^2 = 16$ فالمجهول فيها أساس.

الإجابة الصحيحة: $x = 4$

$81 = 3^4$، إذن $3^x = 3^4$ ومنها $x = 4$.

الإجابة الصحيحة: $2^{-4}$

$16 = 2^4$، والكسر $\frac{1}{2^4}$ يُكتب $2^{-4}$.

الإجابة الصحيحة: $x = -2$

نكتب $1 = 6^0$، إذن $x + 2 = 0$ ومنها $x = -2$.

الإجابة الصحيحة: خطأ

$2^x$ موجبة دائمًا لكل قيم $x$ الحقيقية، فلا يمكن أن تساوي عددًا سالبًا.

الإجابة الصحيحة: $x = 1$

$25 = 5^2$، إذن $x + 1 = 2$ ومنها $x = 1$.

الإجابة الصحيحة: $x = -3$

$\frac{1}{8} = 2^{-3}$، إذن $x = -3$.

الإجابة الصحيحة: $x = \frac{5}{2}$

$4^x = 2^{2x}$ و$32 = 2^5$، إذن $2x = 5$ ومنها $x = \frac{5}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $x = \frac{3}{2}$

$9^x = 3^{2x}$ و$27 = 3^3$، إذن $2x = 3$ ومنها $x = \frac{3}{2}$.

الإجابة الصحيحة: $x = 2$

$27 = 3^3$، إذن $2x - 1 = 3$ ومنها $2x = 4$ و$x = 2$.

الإجابة الصحيحة: لأن $1^{m} = 1^{n}$ دائمًا مهما كانت قيمتا $m$ و$n$

قوى العدد $1$ كلها تساوي $1$، فتساوي القوتين لا يستلزم تساوي الأسين.

الإجابة الصحيحة: $x = 1$

$4^x = 2^{2x}$، إذن $x + 1 = 2x$ ومنها $x = 1$. التحقق: $2^2 = 4^1$.

الإجابة الصحيحة: $x = 3$

$5^{2x} = 5^{3x-3}$، إذن $2x = 3x - 3$ ومنها $x = 3$. التحقق: $25^3 = 5^6$ و$125^2 = 5^6$.

الإجابة الصحيحة: $x = 2$

$2^x \times 2^{2x} = 2^{3x}$ و$64 = 2^6$، إذن $3x = 6$ ومنها $x = 2$.

الإجابة الصحيحة: $x = -4$

$\left(\frac{1}{3}\right)^x = 3^{-x}$ و$81 = 3^4$، إذن $-x = 4$ ومنها $x = -4$.

1) كتابة طرفي المعادلة في صورة قوتين لأساس واحد. 2) تطبيق قواعد القوى لتبسيط كل طرف إلى قوة واحدة. 3) مساواة الأسين (بشرط أن يكون الأساس موجبًا ولا يساوي $1$). 4) حل المعادلة الناتجة ثم التحقق من الحل بالتعويض.

$16 = 2^4$، إذن $3x - 2 = 4$، فيكون $3x = 6$ و$x = 2$. التحقق: $2^{3(2)-2} = 2^4 = 16$ ✓.

نكتب الطرفين بالأساس $2$: $8^{x+1} = 2^{3x+3}$ و$4^{2x} = 2^{4x}$. إذن $3x + 3 = 4x$ ومنها $x = 3$. التحقق: $8^4 = 2^{12} = 4096$ و$4^6 = 2^{12} = 4096$ ✓.

$9^{x-1} = 3^{2x-2}$، فيصبح الطرف الأيمن $3^{x + 2x - 2} = 3^{3x-2}$، و$\frac{1}{3} = 3^{-1}$. إذن $3x - 2 = -1$ ومنها $x = \frac{1}{3}$. التحقق: $3^{\frac{1}{3}} \times 9^{-\frac{2}{3}} = 3^{\frac{1}{3}} \times 3^{-\frac{4}{3}} = 3^{-1}$ ✓. أما $3^x = -9$ فلا حل حقيقي لها لأن $3^x$ موجبة دائمًا لكل قيم $x$ الحقيقية، ولا يمكن أن تساوي عددًا سالبًا.