أسئلة: الارتباط

الإجابة الصحيحة: حين يؤدي تزايد أحد المتغيرين إلى تناقص الآخر

الارتباط العكسي يعني أن زيادة أحدهما تصاحبها نقصان الآخر، مثل العلاقة بين السرعة والزمن.

الإجابة الصحيحة: بين $-1$ و$1$

معامل ارتباط بيرسون يتراوح دائمًا بين $-1$ و$1$ لتحديد قوة واتجاه العلاقة الخطية.

الإجابة الصحيحة: ارتباط عكسي قوي

الإشارة السالبة تعني ارتباطًا عكسيًا، والقيمة المطلقة $0.85$ قريبة من الواحد مما يدل على قوة الارتباط.

الإجابة الصحيحة: $0.05$

كلما اقتربت القيمة المطلقة لمعامل الارتباط من الصفر، دلّ ذلك على ضعف العلاقة الخطية وانعدامها تقريبًا.

الإجابة الصحيحة: ارتباط طردي (موجب)

زيادة المتغيرين معًا تعني وجود ارتباط طردي أو موجب.

الإجابة الصحيحة: الارتباط طردي

الإشارة الموجبة تدل على أن المتغيرين يزدادان أو يتناقصان معًا في نفس الاتجاه.

الإجابة الصحيحة: $-1$

الوقوع على خط مستقيم ذي ميل سالب يعطي ارتباطًا عكسيًا تامًا قيمته $-1$.

الإجابة الصحيحة: تحديد اتجاه وقوة العلاقة الخطية بين متغيرين

معامل بيرسون مصمم خصيصًا لقياس مدى وقوة واتجاه الارتباط الخطي بين متغيرين.

الإجابة الصحيحة: لا توجد أي علاقة خطية واضحة بين المتغيرين

الارتباط المنعدم يعني عدم وجود أي نمط خطي يربط المتغيرين ببعضهما.

الإجابة الصحيحة: انعدام الارتباط الخطي

القيمة صفر تعني عدم وجود ارتباط خطي تمامًا.

الإجابة الصحيحة: تقترب قيمته المطلقة من الصفر

كلما زاد التشتت وابتعدت النقاط عن الخط المستقيم، ضعف الارتباط واقتربت قيمته من الصفر.

الإجابة الصحيحة: $28$

البسط $= 4(57) - (10)(20) = 228 - 200 = 28$.

الإجابة الصحيحة: $r = -0.8$ لأن قيمته المطلقة أكبر

القوة تُقاس بالقيمة المطلقة $|r|$؛ و$0.8 > 0.5$ فالارتباط $-0.8$ أقوى (وإن كان عكسيًا).

الإجابة الصحيحة: وصفية مرتبة مثل التقديرات (ممتاز، جيد، مقبول)

سبيرمان يعتمد على ترتيب القيم، فيصلح للبيانات الوصفية المرتبة، أما بيرسون فللبيانات الكمية.

الإجابة الصحيحة: $3.5$

عند التكرار تُعطى كل نسخة الوسط الحسابي للرتب التي تشغلها: $\frac{3+4}{2} = 3.5$.

الإجابة الصحيحة: $0.9$

$r_s = 1 - \frac{6 \times 2}{5 \times 24} = 1 - \frac{12}{120} = 0.9$.

الإجابة الصحيحة: خطأ

خطأ؛ الارتباط لا يعني السببية، فقد يكون هناك عامل ثالث وراء تغير المتغيرين معًا.

الإجابة الصحيحة: صواب

عند التطابق تكون كل الفروق $d = 0$ فيكون $\sum d^2 = 0$ و$r_s = 1$.

الإجابة الصحيحة: طردي قوي

اتجاه النقاط صعودًا يدل على ارتباط طردي، وتجمعها قرب الخط يدل على قوته.

الارتباط الطردي: علاقة تزايدية يتزايد فيها أحد المتغيرين بتزايد الآخر، مثل العلاقة بين عدد ساعات المذاكرة والدرجة المحصلة. الارتباط العكسي: علاقة تناقصية يتزايد فيها أحد المتغيرين بينما يتناقص الآخر، مثل العلاقة بين سرعة السيارة والزمن اللازم لقطع مسافة ثابتة.

لأنه مقياس يُبنى رياضيًا لقياس مدى اقتراب نقاط البيانات من الوقوع على خط مستقيم تام؛ فإذا وقعت النقاط على خط مستقيم بميل موجب تكون النتيجة $1$ (ارتباط تام)، وبميل سالب تكون $-1$ (ارتباط عكسي تام)، وأي تشتت يقلل القيمة عن الواحد، فلا يمكن رياضياً تجاوز هذا الحد.

(أ) $r = 0.95$: يدل على ارتباط طردي (موجب) قوي جداً، حيث تقترب القيمة من الواحد الصحيح. (ب) $r = -0.10$: يدل على ارتباط عكسي (سالب) ضعيف جداً يكاد يكون منعدماً لقرب القيمة المطلقة من الصفر.

يُفضل تنظيم الحساب في جدول متكامل الأعمدة يتضمن قيم $x$، $y$، $xy$، $x^2$، $y^2$ لكل سطر على حدة، ثم حساب المجموع الكلي لكل عمود بدقة ($\sum x, \sum y, \sum xy, \sum x^2, \sum y^2$) والتعويض المباشر في القانون.

نعوض في القانون: البسط = $4(55) - (10)(20) = 220 - 200 = 20$. المقام = $\sqrt{[4(30) - 10^2][4(110) - 20^2]} = \sqrt{[120 - 100][440 - 400]} = \sqrt{20 \times 40} = \sqrt{800} \approx 28.28$. إذن $r = \frac{20}{28.28} \approx 0.707$.

القيم المتطرفة تؤثر بشكل كبير على المجموعات وحاصلات الضرب مثل $\sum xy$ و$\sum x^2$، مما قد يؤدي إلى تضخيم أو تقليل قيمة معامل الارتباط $r$ بصورة مضللة لا تعكس بدقة طبيعة العلاقة العامة لبقية بيانات العينة.

$n = 4$، $\sum x = 10$، $\sum y = 20$، $\sum xy = 3 + 10 + 12 + 32 = 57$، $\sum x^2 = 30$، $\sum y^2 = 9 + 25 + 16 + 64 = 114$. البسط $= 4(57) - 10 \times 20 = 28$. المقام $= \sqrt{(4 \times 30 - 100)(4 \times 114 - 400)} = \sqrt{20 \times 56} = \sqrt{1120} \approx 33.47$. إذن $r \approx \frac{28}{33.47} \approx 0.84$. التفسير: ارتباط طردي قوي؛ تزداد قيم $y$ غالبًا بزيادة قيم $x$.

رتب $x$: 2، 4، 3، 1، 5. رتب $y$: 2، 5، 3، 1، 4. الفروق $d$: 0، $-1$، 0، 0، 1. إذن $\sum d^2 = 2$ و$n = 5$. $r_s = 1 - \frac{6 \times 2}{5(25 - 1)} = 1 - \frac{12}{120} = 0.9$. ارتباط طردي قوي جدًا بين ترتيب القيم.

رتب $x$: 1، 2، 3، 4. رتب $y$: القيمة 5 رتبتها 1، والقيمتان 8 تشغلان الرتبتين 2 و3 فرتبة كل منهما $2.5$، والقيمة 10 رتبتها 4. الفروق: 0، $-0.5$، $0.5$، 0 ومجموع مربعاتها $0.25 + 0.25 = 0.5$. $r_s = 1 - \frac{6 \times 0.5}{4(16 - 1)} = 1 - \frac{3}{60} = 0.95$.

نستخدم بيرسون للبيانات الكمية (أعداد) مثل أطوال وأوزان عشرة طلاب لأنه يعتمد على القيم نفسها. ونستخدم سبيرمان للبيانات الوصفية المرتبة مثل تقديرات الطلاب في مادتين (ممتاز، جيد جدًا، جيد…) لأنه يعتمد على ترتيب القيم لا مقدارها، ويصلح كذلك للبيانات الكمية لكنه أقل دقة منها.

قد يرتبط استهلاك المثلجات بعدد حالات الغرق ارتباطًا طرديًا لأن ارتفاع الحرارة (عامل ثالث) يزيد الاثنين معًا، ولا يسبب أكل المثلجات الغرق. فالارتباط يصف العلاقة بين التغيرين فقط ولا يثبت علاقة السبب والنتيجة.