ملخص الارتباط — ثالثة ثانوي

مقدمة

البند: 1-1 من الوحدة الأولى (الارتباط والانحدار)
الشعبة: أدبي فقط (بديل الرياضيات البحتة لهذه الشعبة)

هل تزداد درجات الطالب كلما زادت ساعات مذاكرته؟ وهل تقل مبيعات سلعة كلما ارتفع سعرها؟ وهل يمكن قياس قوة العلاقة بين الأمرين بدلًا من الاكتفاء بقولنا «غالبًا»؟ هذا ما يفعله الارتباط في الإحصاء: يخبرك هل بين ظاهرتين علاقة، وما نوعها، وما درجة قوتها.

ملحوظة على الرموز: يرمز الكتاب المدرسي للمتغيرين بـ س وص ولمعامل الارتباط بـ ر. نكتبها هنا $x$ و $y$ و $r$ ليسهل عرض المعادلات؛ فالمعنى واحد.

أهداف التعلم

أن تعرّف الارتباط وتميز بين الارتباط الطردي والعكسي وعدم الارتباط.
أن ترسم شكل الانتشار لبيانات معطاة وتستنتج منه نوع العلاقة.
أن تحسب معامل ارتباط بيرسون الخطي وتفسر قيمته.
أن تحسب معامل ارتباط الرتب لسبيرمان للبيانات الوصفية أو المرتبة، وتتعامل مع تكرار الرتب.

شرح الدرس

أولًا: مفهوم الارتباط

الارتباط طريقة إحصائية تحدد درجة العلاقة ونوعها بين متغيرين. وتتراوح العلاقة بين القوية والضعيفة؛ فإذا كانت قوية ساعدتنا معرفة قيمة أحد المتغيرين على التنبؤ بقيمة الآخر، وإذا كانت ضعيفة فلا تساعدنا.

ارتباط طردي (موجب): يتغير المتغيران في الاتجاه نفسه؛ إذا زاد أحدهما زاد الآخر (ساعات المذاكرة والدرجة).
ارتباط عكسي (سالب): يتغيران في اتجاهين متضادين؛ إذا زاد أحدهما نقص الآخر (سعر السلعة ومقدار الطلب عليها).
لا يوجد ارتباط: لا تساعد معرفة أحد المتغيرين في التنبؤ بالآخر (طول الطالب ودرجته في التاريخ).

ثانيًا: شكل الانتشار

شكل الانتشار تمثيل بياني لعدد من الأزواج المرتبة $(x,y)$ لوصف العلاقة بين متغيرين؛ نرسم كل زوج نقطةً في المستوى. ويدلنا اتجاه النقاط على نوع الارتباط.

ثلاثة أشكال انتشار: ارتباط طردي تتجه فيه النقاط صعودًا، وارتباط عكسي تتجه فيه هبوطًا، ولا يوجد ارتباط حين تتناثر النقاط

كلما اقتربت النقاط من خط مستقيم كان الارتباط الخطي أقوى، وكلما تباعدت عنه ضعف.

ثالثًا: معامل الارتباط الخطي

معامل الارتباط $r$ مقياس كمي نسبي يقيس قوة الارتباط بين متغيرين، وتكون قيمته دائمًا في الفترة:

-1 \le r \le 1

$r = 1$ ارتباط طردي تام، و $r = -1$ ارتباط عكسي تام، و $r = 0$ انعدام الارتباط.
كلما اقتربت $r$ من $1$ كان الارتباط الطردي أقوى، وكلما اقتربت من $-1$ كان الارتباط العكسي أقوى، وكلما اقتربت من الصفر ضعفت العلاقة.

خط أعداد يبين معامل الارتباط من سالب واحد إلى واحد وتفسير مواقعه

كيف تقارن قوة ارتباطين؟ قارن بين القيمتين المطلقتين $|r|$ ولا تنظر إلى الإشارة؛ فالارتباط $-0.8$ أقوى من $+0.5$ ، لأن $0.8 > 0.5$ وإن اختلف الاتجاه.

رابعًا: معامل ارتباط بيرسون

يُستخدم للبيانات الكمية (الأعداد). إذا كان لدينا $n$ زوجًا من القيم $(x_1,y_1), (x_2,y_2), \dots, (x_n,y_n)$ فإن:

r = \frac{n\sum xy - \sum x \cdot \sum y}{\sqrt{\left(n\sum x^2 - \left(\sum x\right)^2\right)\left(n\sum y^2 - \left(\sum y\right)^2\right)}}

حيث $\sum$ رمز التجميع (يُقرأ «مجموع»)، و $\sum xy$ مجموع حواصل ضرب كل قيمتين متناظرتين، و $\sum x^2$ مجموع مربعات قيم $x$ ، و $\left(\sum x\right)^2$ مربع مجموع القيم (وهما مختلفان).

خطوات الحل: كوّن جدولًا بالأعمدة $x$ و $y$ و $xy$ و $x^2$ و $y^2$ ثم اجمع كل عمود وعوّض.

مثال: أوجد معامل ارتباط بيرسون بين عدد الساعات الأسبوعية للمذاكرة $x$ ودرجة الاختبار $y$ لخمسة طلاب:

$x$	2	3	5	6	8
$y$	4	7	6	9	12

الحل: $n = 5$ . نكوّن الجدول:

$x$	$y$	$xy$	$x^2$	$y^2$
2	4	8	4	16
3	7	21	9	49
5	6	30	25	36
6	9	54	36	81
8	12	96	64	144
24	38	209	138	326

r = \frac{5(209) - (24)(38)}{\sqrt{\left(5(138) - 24^2\right)\left(5(326) - 38^2\right)}} = \frac{1045 - 912}{\sqrt{(690 - 576)(1630 - 1444)}} = \frac{133}{\sqrt{114 \times 186}}

r = \frac{133}{\sqrt{21204}} \approx \frac{133}{145.6} \approx 0.91

التفسير: $r \approx 0.91$ قريبة من $1$ وإشارتها موجبة، فالارتباط طردي قوي: كلما زادت ساعات المذاكرة زادت درجة الاختبار غالبًا.

خامسًا: معامل ارتباط الرتب لسبيرمان

لا يصلح بيرسون للبيانات الوصفية (مثل تقدير «ممتاز/جيد/مقبول»)، لأنها ليست أعدادًا. هنا نستخدم معامل ارتباط الرتب لسبيرمان $r_s$ ، ويصلح للبيانات الكمية والوصفية المرتبة، ويعتمد على ترتيب القيم لا على قيمها.

الخطوات:

رتّب قيم $x$ ترتيبًا تصاعديًا (أصغر قيمة رتبتها 1)، ورتّب قيم $y$ بالطريقة نفسها.
أوجد $d$ = الفرق بين رتبتي كل زوج، ثم $d^2$ .
عوّض في القانون:

r_s = 1 - \frac{6\sum d^2}{n\left(n^2 - 1\right)}

تكرار القيم: إذا تكررت قيمة أخذت كل نسخة منها الوسط الحسابي للرتب التي تشغلها. مثلًا إذا تكررت القيمة مرتين وشغلت الرتبتين 2 و3 فرتبة كل منهما $\frac{2+3}{2} = 2.5$ .

مثال (بلا تكرار): درجات ستة طلاب في مادتين:

$x$	12	15	9	20	18	11
$y$	14	16	10	17	19	12

رتبة $x$	3	4	1	6	5	2
رتبة $y$	3	4	1	5	6	2
$d$	0	0	0	1	-1	0
$d^2$	0	0	0	1	1	0

$\sum d^2 = 2$ و $n = 6$ :

r_s = 1 - \frac{6 \times 2}{6\left(36 - 1\right)} = 1 - \frac{12}{210} \approx 1 - 0.057 = 0.943

ارتباط طردي قوي جدًا بين ترتيب الطلاب في المادتين.

مثال (مع تكرار): القيم $y$ : 7، 9، 9، 12، 12، 15 تقابل $x$ : 10، 20، 30، 40، 50، 60. رتب $y$ : القيمة 7 رتبتها 1، والقيمتان 9 و9 تشغلان الرتبتين 2 و3 فرتبة كل منهما $2.5$ ، والقيمتان 12 و12 تشغلان الرتبتين 4 و5 فرتبة كل منهما $4.5$ ، والقيمة 15 رتبتها 6. رتب $x$ هي 1، 2، 3، 4، 5، 6. فالفروق $d$ هي $0$ و $-0.5$ و $0.5$ و $-0.5$ و $0.5$ و $0$ ، ومجموع مربعاتها $\sum d^2 = 1$ ، ومنه:

r_s = 1 - \frac{6 \times 1}{6(36 - 1)} = 1 - \frac{1}{35} \approx 0.97

أمثلة وتطبيقات

الموقف	النوع المتوقع للارتباط
عدد ساعات استخدام الهاتف ومقدار شحن بطاريته المتبقي	عكسي
طول الطالب ورقم جلوسه	لا يوجد ارتباط
دخل الأسرة وإنفاقها الشهري	طردي

اختر الأداة المناسبة: تقديرات ستة طلاب في اللغة العربية والتاريخ (ممتاز، جيد جدًا، جيد…) ← سبيرمان لأن البيانات وصفية. أما أطوال وأوزان عشرة طلاب فيصلح لها بيرسون.

ملاحظات مهمة

معامل الارتباط لا يتجاوز $1$ ولا يقل عن $-1$ ؛ فإذا حصلت على $r = 1.3$ فراجع حسابك.
الارتباط القوي لا يعني السببية: قد يزيد استهلاك المثلجات وعدد حالات الغرق معًا بسبب ارتفاع الحرارة، دون أن يسبب أحدهما الآخر.
معامل بيرسون يقيس الارتباط الخطي فقط.
سبيرمان يهمل مقدار الفروق بين القيم ويعتمد على ترتيبها، ولذلك فهو أقل دقة من بيرسون للبيانات الكمية.
في سبيرمان، إذا كانت رتب $x$ و $y$ متطابقة تمامًا فإن $\sum d^2 = 0$ و $r_s = 1$ .
تأكد من الفرق بين $\sum x^2$ و $\left(\sum x\right)^2$ عند التعويض.

المفاهيم الأساسية

الارتباط: طريقة لتحديد درجة العلاقة ونوعها بين متغيرين.
شكل الانتشار: تمثيل بياني للأزواج المرتبة $(x,y)$ .
معامل الارتباط: مقياس قيمته بين $-1$ و $1$ ؛ إشارته تحدد النوع ومقداره المطلق يحدد القوة.
معامل بيرسون: للبيانات الكمية، بقانون يعتمد على المجاميع.
معامل سبيرمان: للبيانات الوصفية أو المرتبة، بقانون يعتمد على فروق الرتب.

ملخص الدرس

الارتباط يحدد درجة ونوع العلاقة بين متغيرين، وقد يكون طرديًا أو عكسيًا أو منعدمًا، ويظهر ذلك من شكل الانتشار. يقاس بمعامل الارتباط الذي لا تخرج قيمته عن الفترة من $-1$ إلى $1$ . للبيانات الكمية نستخدم معامل بيرسون، وللبيانات الوصفية أو المرتبة نستخدم معامل سبيرمان الذي نحسبه من فروق الرتب مع أخذ الوسط الحسابي للرتب عند التكرار.

أسئلة للتدريب

اذكر نوع الارتباط المتوقع بين: عدد ساعات النوم ومستوى التعب، ووزن الطالب ودرجته في الفيزياء.
أوجد معامل ارتباط بيرسون للبيانات: $x$ : 1، 2، 3، 4، 5 و $y$ : 9، 7، 6، 3، 2، ثم فسّر النتيجة.
إذا كان $r_1 = -0.9$ و $r_2 = 0.6$ ، فأيهما أقوى ولماذا؟
احسب معامل ارتباط الرتب لسبيرمان للبيانات: $x$ : 1، 2، 3، 4، 5 و $y$ : 2، 1، 4، 3، 5.
متى نستخدم سبيرمان بدلًا من بيرسون؟ وماذا نفعل عند تكرار قيمة؟
فسّر لماذا لا يمكن أن يساوي معامل الارتباط 1.3.