أهداف التعلم

• أن تميز بين الأحداث المستقلة وغير المستقلة.
• أن تتحقق من استقلال حدثين بالتعريف.
• أن تميز بين الحدثين المتنافيين والمستقلين.
• أن تحل مسائل على احتمال وقوع حدثين مستقلين معًا، وعلى «أحدهما على الأقل» و«أحدهما فقط».

شرح الدرس

أولًا: الأحداث المستقلة وغير المستقلة

ثانيًا: تعريف الاستقلال

يقال إن الحدثين $A$ و$B$ مستقلان إذا وإذا فقط:

أي أن احتمال وقوعهما معًا يساوي حاصل ضرب احتمالي وقوعهما منفردين. ويلزم من ذلك (إذا كان $P(B) \neq 0$) أن:

أي أن وقوع $B$ لا يغيّر احتمال وقوع $A$.

مثال: رُمي حجر نرد مرة وعملة مرة. احتمال «صورة» و«العدد 5» معًا: $P(H) = \frac{1}{2}$ و$P(5) = \frac{1}{6}$ ومن الاستقلال $P(H \cap 5) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$.

ثالثًا: كيف نتحقق من الاستقلال؟

احسب $P(A \cap B)$ ثم قارنه بـ$P(A) \times P(B)$؛ فإن تساويا فالحدثان مستقلان وإلا فلا.

مثال 1: $P(A) = 0.4$ و$P(B) = 0.5$ و$P(A \cup B) = 0.7$. هل $A$ و$B$ مستقلان؟

وحاصل الضرب $0.4 \times 0.5 = 0.2$ ؛ فالحدثان مستقلان.

مثال 2: $P(A) = 0.3$ و$P(B) = 0.4$ و$P(A \cup B) = 0.6$: $P(A \cap B) = 0.3 + 0.4 - 0.6 = 0.1$ ولكن $0.3 \times 0.4 = 0.12$؛ فالحدثان غير مستقلين.

رابعًا: المتنافيان والمستقلان

مثال يوضح الفرق: عند رمي عملة مرة، «صورة» و«كتابة» متنافيان (لا يقعان معًا) وليسا مستقلين، لأن $P(H \cap T) = 0$ بينما $P(H) \cdot P(T) = \frac{1}{4} \neq 0$. فإذا كان احتمال كل من حدثين أكبر من الصفر فلا يمكن أن يكونا متنافيين ومستقلين معًا.

أسئلة للتدريب

1. اذكر موقفين من حياتك: أحدهما لحدثين مستقلين والآخر لحدثين غير مستقلين.
2. إذا كان $P(A) = 0.5$ و$P(B) = 0.2$ وكان الحدثان مستقلين فأوجد $P(A \cap B)$ و$P(A \cup B)$.
3. إذا كان $P(A) = 0.7$ و$P(B) = 0.4$ و$P(A \cup B) = 0.82$ فهل الحدثان مستقلان؟
4. لاعب يصيب الهدف باحتمال $0.8$ في كل محاولة، ما احتمال أن يصيبه في محاولتين متتاليتين؟ وفي إحداهما على الأقل؟
5. لماذا لا يمكن لحدثين متنافيين احتمال كل منهما موجب أن يكونا مستقلين؟
6. كيس فيه 4 بيضاء و6 سوداء، سُحبت كرتان على التوالي مع الإرجاع. ما احتمال أن تكونا سوداوين؟ وما احتمال ذلك دون إرجاع؟