أهداف التعلم

• أن تعرّف المتغير العشوائي والمتغير العشوائي المتقطع وتحدد مداه.
• أن تكتب دالة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي متقطع في صورة جدول.
• أن تتحقق من شرطي دالة التوزيع الاحتمالي.
• أن تجد ثابتًا مجهولًا في دالة التوزيع، وتحل أمثلة السحب دون إرجاع.

شرح الدرس

أولًا: المتغير العشوائي

المتغير العشوائي $X$ دالة مجالها فضاء العينة $S$ ومجالها المقابل مجموعة الأعداد الحقيقية؛ أي أنه يربط كل ناتج من نواتج التجربة بعدد حقيقي.

مثال: رمي عملة ثلاث مرات، وعرّفنا $X$ بأنه «عدد الصور». فكل ناتج يُنسب إلى عدد:

ويكون مدى المتغير $X$ هو مجموعة قيمه $\{0, 1, 2, 3\}$.

ثانيًا: المتغير العشوائي المتقطع

المتغير العشوائي المتقطع (المنفصل أو الوثّاب) هو متغير مداه مجموعة محدودة (أو قابلة للحصر) من الأعداد الحقيقية، أي يمكن عد قيمه. من أمثلته: عدد الأسهم المخصصة لفرد في شركة، وعدد الحوادث على طريق في أسبوع، وعدد المكالمات الواردة لأسرة في شهر. (أما الطول والوزن والزمن فتأخذ قيمًا في فترة كاملة، وهي متغيرات متصلة ندرسها لاحقًا.)

ثالثًا: دالة التوزيع الاحتمالي

إذا كان مدى المتغير $X$ هو $\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$ فإن دالة التوزيع الاحتمالي $d$ تعرّف بـ:

ويمكن كتابتها في جدول:

وتحقق دالة التوزيع الاحتمالي شرطين:

1. $d(x_i) \ge 0$ لكل $i$.
2. $d(x_1) + d(x_2) + \dots + d(x_n) = 1$.

رابعًا: أمثلة

مثال 1: المتغير $X$ هو عدد الصور عند رمي عملة ثلاث مرات. $n(S) = 8$، وعدد النواتج التي فيها: صفر صور $= 1$، صورة واحدة $= 3$، صورتان $= 3$، ثلاث صور $= 1$:

الشرطان محققان: القيم موجبة، ومجموعها $\frac{1 + 3 + 3 + 1}{8} = 1$.

مثال 2 (مجموع حجري نرد): $X$ هو مجموع العددين الظاهرين عند رمي حجر نرد مرتين، ومداه $\{2, 3, \dots, 12\}$. عدد النواتج المؤدية لكل مجموع هو $1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1$ من $36$ ناتجًا. فمثلًا $d(7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$، و$P(X \ge 10) = \frac{3 + 2 + 1}{36} = \frac{1}{6}$.

مثال 3 (السحب دون إرجاع): صندوق فيه 4 بطاقات مرقمة من 1 إلى 4، سُحبت منه بطاقتان على التوالي دون إرجاع، و$X$ هو أكبر العددين المسحوبين. عدد النواتج $4 \times 3 = 12$ زوجًا مرتبًا. القيم الممكنة $\{2, 3, 4\}$:

• $X = 2$: الزوجان $(1,2), (2,1)$ فـ$d(2) = \frac{2}{12}$
• $X = 3$: $(1,3), (3,1), (2,3), (3,2)$ فـ$d(3) = \frac{4}{12}$
• $X = 4$: ستة أزواج فـ$d(4) = \frac{6}{12}$

ومجموعها $\frac{2 + 4 + 6}{12} = 1$ ✓.

مثال 4 (إيجاد ثابت): دالة التوزيع $d(x) = \frac{k + 3x}{30}$ حيث $x \in \{0, 1, 2, 3\}$. أوجد $k$ ثم اكتب التوزيع.

نكتب قيم الدالة: $\frac{k}{30}$ و$\frac{k+3}{30}$ و$\frac{k+6}{30}$ و$\frac{k+9}{30}$ ومجموعها $1$:

أسئلة للتدريب

1. رُميت عملة مرتين و$X$ عدد الصور: اكتب مدى $X$ ودالة توزيعه الاحتمالي.
2. هل الجدول $d(0) = 0.2$، $d(1) = 0.5$، $d(2) = 0.4$ دالة توزيع احتمالي؟ فسّر.
3. إذا كان $d(x) = \frac{x + k}{12}$ حيث $x \in \{1, 2, 3\}$ فأوجد $k$ ثم اكتب التوزيع.
4. صندوق فيه 4 كرات مرقمة 1 إلى 4 سُحبت منه كرتان دون إرجاع و$X$ أصغر العددين: اكتب التوزيع.
5. رُمي حجر نرد مرة، و$X$ عدد النقاط الظاهرة: اكتب التوزيع وتحقق من الشرطين.
6. ما الفرق بين المتغير المتقطع والمتغير المتصل؟ اذكر مثالين لكل منهما.