ملخص التوزيع الطبيعي — ثالثة ثانوي

مقدمة

البند: 1-5 من الوحدة الخامسة (التوزيع الطبيعي)
الشعبة: أدبي فقط (بديل الرياضيات البحتة لهذه الشعبة)

أطوال البالغين، وأوزان المواليد، ودرجات الذكاء، وكثير من الظواهر المتصلة تتجمع قيمها حول متوسط وتقل كلما ابتعدنا عنه، فيأخذ رسمها شكل جرس. هذا هو التوزيع الطبيعي أهم التوزيعات الاحتمالية المتصلة، ومنه تنطلق أغلب التطبيقات الإحصائية.

أهداف التعلم

أن تعرّف المتغير العشوائي الطبيعي وتذكر خواص منحناه.
أن تستخدم المساحات التقريبية 68.26% و95.44% و99.74%.
أن تحوّل أي متغير طبيعي إلى المتغير الطبيعي المعياري $z$ .
أن تحسب الاحتمالات باستخدام جدول المساحات تحت المنحنى المعياري.

شرح الدرس

أولًا: المتغير الطبيعي ومنحناه

يقال إن المتغير العشوائي المتصل $X$ طبيعي إذا كان مداه $(-\infty, \infty)$ ودالة كثافته منحناها على شكل ناقوس (جرس)، ويسمى منحنى جاوس أو المنحنى الطبيعي. ويتحدد شكله بمعلومية قيمتين: المتوسط $\mu$ والانحراف المعياري $\sigma$ . ونكتب $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ (القيمة الثانية هي التباين $\sigma^2$ ).

منحنى التوزيع الطبيعي والمساحات التقريبية عند انحراف وانحرافين وثلاثة انحرافات معيارية

خواص المنحنى الطبيعي:

له قمة واحدة وطرفاه يمتدان إلى $-\infty$ و $\infty$ ويقتربان من المحور الأفقي دون أن يلمساه.
متماثل حول المستقيم الرأسي $x = \mu$ الذي يمر بالقمة، فالمتوسط يساوي الوسيط والمنوال.
المساحة تحت المنحنى وفوق المحور الأفقي تساوي 1.
المستقيم $x = \mu$ يقسم المساحة إلى نصفين مساحة كل منهما $0.5$ .
تقريبًا: من $\mu - \sigma$ إلى $\mu + \sigma$ مساحتها 68.26%، ومن $\mu - 2\sigma$ إلى $\mu + 2\sigma$ مساحتها 95.44%، ومن $\mu - 3\sigma$ إلى $\mu + 3\sigma$ مساحتها 99.74% من المساحة الكلية.

وكلما كان عدد البيانات كبيرًا اقترب توزيعها من الشكل الطبيعي.

مثال 1 (القاعدة التقريبية): أطوال طلاب مدرسة تتبع توزيعًا طبيعيًا متوسطه $165$ سم وانحرافه المعياري $6$ سم: نحو $68.26\%$ من الطلاب أطوالهم بين $159$ و $171$ سم، ونحو $95.44\%$ بين $153$ و $177$ سم، وتقريبًا كلهم ( $99.74\%$ ) بين $147$ و $183$ سم.

ثانيًا: التوزيع الطبيعي المعياري

نحوّل أي توزيع طبيعي إلى توزيع طبيعي معياري (متوسطه $0$ وانحرافه المعياري $1$ ) بالعلاقة:

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

فيصبح المتغير $Z \sim N(0, 1)$ . وقيمة $z$ تقول لنا كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة $x$ عن المتوسط (وإشارتها تبين الاتجاه). وللمنحنى المعياري خواص المنحنى الطبيعي نفسها، ومحور الصادات يقسم المساحة إلى نصفين مساحة كل منهما $0.5$ .

ثالثًا: جدول المساحات

يعطي جدول المنحنى المعياري المساحة بين $0$ و $z$ أي $P(0 \le Z \le z)$ . وفيما يلي جدول مختصر (يحتوي كتابك على جدول أدق يقرأ $z$ لخانتين عشريتين):

$z$	المساحة	$z$	المساحة	$z$	المساحة
0.0	0.0000	1.1	0.3643	2.2	0.4861
0.1	0.0398	1.2	0.3849	2.3	0.4893
0.2	0.0793	1.3	0.4032	2.4	0.4918
0.3	0.1179	1.4	0.4192	2.5	0.4938
0.4	0.1554	1.5	0.4332	2.6	0.4953
0.5	0.1915	1.6	0.4452	2.7	0.4965
0.6	0.2257	1.7	0.4554	2.8	0.4974
0.7	0.2580	1.8	0.4641	2.9	0.4981
0.8	0.2881	1.9	0.4713	3.0	0.4987
0.9	0.3159	2.0	0.4772
1.0	0.3413	2.1	0.4821

قواعد القراءة (احسب بالرسم والتظليل أولًا):

المطلوب	الطريقة
$P(0 \le Z \le z)$	من الجدول مباشرة
$P(Z \ge z)$ ( $z > 0$ )	$0.5 - P(0 \le Z \le z)$
$P(-z \le Z \le 0)$	$P(0 \le Z \le z)$ (للتماثل)
$P(Z \le -z)$	$0.5 - P(0 \le Z \le z)$
$P(-a \le Z \le b)$	$P(0 \le Z \le a) + P(0 \le Z \le b)$
$P(a \le Z \le b)$ ( $0 < a < b$ )	$P(0 \le Z \le b) - P(0 \le Z \le a)$

أمثلة وتطبيقات

مثال 2 (متغير معياري):

$P(Z \ge 1.5) = 0.5 - 0.4332 = 0.0668$
$P(-0.5 \le Z \le 1.2) = 0.1915 + 0.3849 = 0.5764$
$P(0.8 \le Z \le 1.9) = 0.4713 - 0.2881 = 0.1832$
$P(Z \le -0.9) = 0.5 - 0.3159 = 0.1841$

مثال 3 (متغير طبيعي): درجات اختبار تتبع $N(72, 8^2)$ أي $\mu = 72$ و $\sigma = 8$ . اختير طالب عشوائيًا؛ أوجد احتمال أن تكون درجته: (أ) أكبر من $84$ ، (ب) أقل من $60$ ، (ج) بين $64$ و $88$ .

(أ) $z = \frac{84 - 72}{8} = 1.5$ فـ $P(X > 84) = P(Z > 1.5) = 0.5 - 0.4332 = 0.0668$ .

(ب) $z = \frac{60 - 72}{8} = -1.5$ فـ $P(X < 60) = P(Z < -1.5) = 0.0668$ (للتماثل).

(ج) $z_1 = \frac{64 - 72}{8} = -1$ و $z_2 = \frac{88 - 72}{8} = 2$ :

P(64 < X < 88) = P(-1 < Z < 2) = 0.3413 + 0.4772 = 0.8185

وإذا كان عدد الطلاب $500$ فالعدد المتوقع لمن تزيد درجاتهم على $84$ يساوي $500 \times 0.0668 \approx 33$ طالبًا.

ملاحظات مهمة

ارسم المنحنى وظلّل المنطقة المطلوبة قبل أن تقرأ الجدول؛ فهذا يحميك من أخطاء الطرح والجمع.
الجدول يعطي المساحة من $0$ إلى $z$ (إلى يمين المحور الرأسي) وحده؛ والباقي بالتماثل.
$P(X = a) = 0$ لأنه متغير متصل، فلا فرق بين $<$ و $\le$ .
المعامل الثاني في $N(\mu, \sigma^2)$ هو التباين، فإذا قيل «تباينه 16» فالانحراف $\sigma = 4$ .
القاعدة 68.26% و95.44% و99.74% تقريبية وتفيد في التقدير السريع.

المفاهيم الأساسية

المنحنى الطبيعي: منحنى جرسي متماثل حول المتوسط مساحته الكلية 1.
المتغير الطبيعي المعياري: $Z \sim N(0,1)$ حيث $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ .
جدول المساحات: يعطي $P(0 \le Z \le z)$ .
المساحات التقريبية: 68.26% و95.44% و99.74% عند $\pm\sigma$ و $\pm 2\sigma$ و $\pm 3\sigma$ .

ملخص الدرس

التوزيع الطبيعي منحناه جرسي متماثل حول المتوسط $\mu$ ويتحدد بالمتوسط والانحراف المعياري، ومساحته الكلية 1، وتقع نحو 68.26% من القيم ضمن انحراف معياري واحد من المتوسط ونحو 95.44% ضمن انحرافين ونحو 99.74% ضمن ثلاثة. نحوّل أي قيمة إلى $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ ثم نحسب الاحتمال من جدول المساحات بين $0$ و $z$ بالاستعانة بالتماثل.

أسئلة للتدريب

أوجد: $P(0 \le Z \le 1.3)$ و $P(Z \ge 0.6)$ و $P(-1.7 \le Z \le 0)$ .
أوجد $P(-0.8 \le Z \le 2.1)$ و $P(0.4 \le Z \le 1.6)$ .
أوزان طلاب مدرسة طبيعية متوسطها $68$ كجم وتباينها $16$ كجم $^2$ . ما احتمال أن يزيد وزن طالب على $72$ كجم؟
في السؤال السابق: ما نسبة الطلاب الذين تقع أوزانهم بين $64$ و $72$ كجم؟
ما معنى القيمة $z = -2$ ؟
لماذا يكون المتوسط والوسيط والمنوال متساوية في التوزيع الطبيعي؟