أهداف التعلم

• أن تحسب احتمال وقوع قيمة في فترة وتقدّر العدد المتوقع من الوحدات.
• أن تجد الانحراف المعياري أو المتوسط من نسبة معلومة.
• أن تجد القيمة التي تفصل نسبة معلومة من البيانات.
• أن تتعامل مع الاحتمالات المتعلقة بالفرق المطلق عن المتوسط.

شرح الدرس

منهج الحل في أربع خطوات

1. عرّف المتغير $X$ واكتب $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ (انتبه: المعامل الثاني هو التباين).
2. حوّل القيم إلى $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$.
3. ارسم المنحنى وظلل المنطقة المطلوبة.
4. اقرأ المساحة من جدول المنحنى المعياري (انظر جدول المساحات في درس التوزيع الطبيعي) مستفيدًا من التماثل.

أولًا: الاحتمال والعدد المتوقع

مثال 1 (الصناعة): ماكينة تعبئ عبوات متوسط حجمها $500$ مل وانحرافه المعياري $4$ مل (توزيع طبيعي). تكون العبوة مقبولة إذا كان حجمها بين $492$ و$508$ مل. اختيرت عينة من $2000$ عبوة. كم عبوة متوقع قبولها؟

$z_1 = \frac{492 - 500}{4} = -2$ و$z_2 = \frac{508 - 500}{4} = 2$:

العدد المتوقع $= 2000 \times 0.9544 \approx 1909$ عبوة.

مثال 2 (الأجور): أجور عمال مصنع تتبع توزيعًا طبيعيًا متوسطه $300$ جنيه وانحرافه المعياري $40$ جنيهًا. ما النسبة المئوية للعمال الذين: (أ) تزيد أجورهم على $340$، (ب) تقع أجورهم بين $260$ و$380$؟

(أ) $z = \frac{340 - 300}{40} = 1$ فـ$P(X > 340) = 0.5 - 0.3413 = 0.1587$ أي نحو $15.87\%$.

(ب) $z_1 = \frac{260 - 300}{40} = -1$ و$z_2 = \frac{380 - 300}{40} = 2$ فالنسبة $0.3413 + 0.4772 = 0.8185$ أي نحو $81.85\%$.

ثانيًا: إيجاد $\sigma$ من نسبة معلومة

مثال 3 (التعليم): درجات الطلاب في مدرسة تتبع توزيعًا طبيعيًا متوسطه $60$ وانحرافه المعياري $\sigma$ مجهول، ووجد أن $6.68\%$ من الطلاب حصلوا على أكثر من $72$ درجة. أوجد $\sigma$.

$P(X > 72) = 0.0668$ فالمساحة بين المتوسط والقيمة $72$ تساوي $0.5 - 0.0668 = 0.4332$، ومن الجدول $z = 1.5$. إذن:

ثالثًا: إيجاد القيمة التي تفصل نسبة معلومة

مثال 4: درجات اختبار تتبع $N(70, 10^2)$. ما أقل درجة يحصل عليها الطالب ليكون ضمن أعلى $10\%$؟

• المساحة إلى يمين الدرجة المطلوبة $= 0.10$، فالمساحة بين المتوسط وهذه الدرجة $= 0.5 - 0.10 = 0.40$.
• نبحث في جسم الجدول عن أقرب مساحة إلى $0.4000$ فنجد $0.3997$ عند $z = 1.28$.
• نعود إلى الدرجة: $x = \mu + z\sigma = 70 + 1.28 \times 10 = 82.8$.

فأقل درجة هي نحو $82.8$ (تقريبًا $83$). وبالمثل أدنى $5\%$ من الدرجات تنتهي عند $z \approx -1.64$ أي $x = 70 - 16.4 = 53.6$.

رابعًا: الفرق المطلق عن المتوسط

مثال 5: أطوال طلاب مدرسة تتبع $N(170, 5^2)$. ما احتمال أن يختلف طول طالب عن المتوسط بما لا يزيد على $7.5$ سم؟

المطلوب $P(|X - 170| \le 7.5) = P(162.5 \le X \le 177.5)$:

وتذكّر أن $|X - \mu| \le c$ تكافئ $\mu - c \le X \le \mu + c$.

أسئلة للتدريب

1. أطوال عيّنة تتبع $N(100, 10^2)$: ما نسبة القيم الأقل من $85$؟
2. إذا كانت أعمار مصابيح تتبع $N(1000, 50^2)$ ساعة فكم مصباحًا من 500 يُتوقع أن يعيش أكثر من $1100$ ساعة؟
3. درجات $N(\mu, 36)$ ووُجد أن $15.87\%$ منها أعلى من $78$؛ أوجد $\mu$.
4. أوجد أعلى $15\%$ من درجات $N(60, 12^2)$ (أقل درجة ضمن هذه النسبة تقريبًا، استعمل $z \approx 1.04$).
5. احسب $P(|X - 50| < 6)$ إذا كان $X \sim N(50, 4^2)$.
6. وضّح لماذا نطرح من $0.5$ عند إيجاد المساحة إلى يمين قيمة موجبة لـ$z$.