أسئلة: بعض التطبيقات العملية للتوزيع الطبيعي

الإجابة الصحيحة: 0.0228

$P(Z > 2) = 0.5 - P(0 < Z < 2) = 0.5 - 0.4772 = 0.0228$.

الإجابة الصحيحة: تحديد مواصفات المنتجات غير المقبولة إحصائيًا والتأكد من وقوعها ضمن الحدود المقبولة

يُستخدم التوزيع الطبيعي في الصناعة لضمان وقوع مواصفات المنتجات ضمن الحدود المقبولة إحصائيًا وضبط الجودة.

الإجابة الصحيحة: $0.9544$

$z = \pm 2$ فالاحتمال $2 \times 0.4772 = 0.9544$.

الإجابة الصحيحة: $1909$

$2000 \times 0.9544 = 1908.8 \approx 1909$ عبوة.

الإجابة الصحيحة: $15.87\%$

$z = \frac{340 - 300}{40} = 1$ و$P(Z > 1) = 0.5 - 0.3413 = 0.1587$.

الإجابة الصحيحة: $81.85\%$

$z_1 = -1$ و$z_2 = 2$ فـ$0.3413 + 0.4772 = 0.8185$.

الإجابة الصحيحة: $8$

المساحة من المتوسط إلى $72$ هي $0.4332$ فـ$z = 1.5$ ومنه $\frac{72 - 60}{\sigma} = 1.5$ فـ$\sigma = 8$.

الإجابة الصحيحة: $82.8$

$x = \mu + z\sigma = 70 + 1.28 \times 10 = 82.8$.

الإجابة الصحيحة: $53.6$

$x = 70 + (-1.64)(10) = 53.6$.

الإجابة الصحيحة: $0.8664$

$z = \pm 1.5$ فالاحتمال $2 \times 0.4332 = 0.8664$.

الإجابة الصحيحة: $\mu - c \le X \le \mu + c$

الفرق المطلق عن المتوسط لا يزيد على $c$ يعني أن $X$ في الفترة $[\mu - c, \mu + c]$.

الإجابة الصحيحة: $40$

$z = 1.5$ فـ$P = 0.0668$ والعدد $600 \times 0.0668 \approx 40$ طالبًا.

الإجابة الصحيحة: $40$

$P(Z > z) = 0.1587$ تعطي $z = 1$ فـ$\frac{45 - \mu}{5} = 1$ ومنه $\mu = 40$.

الإجابة الصحيحة: خطأ

خطأ؛ أعلى $10\%$ تقع يمين المتوسط فتكون $z$ موجبة ($\approx 1.28$).

الإجابة الصحيحة: صواب

هذا عكس التحويل المعياري $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$.

1. نحسب القيمة المعيارية للحد الأدنى $x_1 = 160$: $Z_1 = \frac{160 - 170}{5} = -2$. 2. نحسب القيمة المعيارية للحد الأعلى $x_2 = 180$: $Z_2 = \frac{180 - 170}{5} = 2$. 3. المطلوب هو $P(-2 < Z < 2)$. 4. من جدول المساحات القياسية، المساحة من الصفر إلى 2 هي $P(0 < Z < 2) = 0.4772$. 5. بحكم التماثل، المساحة الكلية هي $P(-2 < Z < 2) = 0.4772 + 0.4772 = 0.9544$ (أي نحو 95.44% أو ما يوافق القاعدة التجريبية لـ95%).

1. نحدد القيمة المطلوبة $x = 86$. 2. نحسب القيمة المعيارية $Z = \frac{86 - 70}{8} = \frac{16}{8} = 2$. 3. المطلوب هو حساب الاحتمال لليمين $P(Z > 2)$. 4. من جدول المساحات، المساحة بين الصفر و2 هي $P(0 < Z < 2) = 0.4772$. 5. نحسب الاحتمال المطلوب: $P(Z > 2) = 0.5 - 0.4772 = 0.0228$. إذن الاحتمال هو 0.0228 (أو 2.28%).

1. نحسب القيمة المعيارية للحد الأول $x_1 = 192$: $Z_1 = \frac{192 - 200}{4} = \frac{-8}{4} = -2$. 2. نحسب القيمة المعيارية للحد الثاني $x_2 = 208$: $Z_2 = \frac{208 - 200}{4} = \frac{8}{4} = 2$. 3. المجال المطلوب هو النسبة بين انحرافين معياريين ($\mu \pm 2\sigma$). 4. نجمع المساحتين المناظرتين: $P(-2 < Z < 2) = 0.4772 + 0.4772 = 0.9544$. 5. إذن النسبة المئوية للألواح الواقعة في هذا المدى هي تقريبًا 95.44% (تطبيق مباشر للقاعدة التجريبية عند $2\sigma$).

1. في التعليم: يُستخدم لتقييم درجات الطلاب في الاختبارات الكبيرة ومعرفة نسب الحاصلين على مستويات أو درجات ضمن مدى معين. 2. في الصحة: يُستخدم لتقدير نسب الأفراد الذين تقع أطوالهم أو أوزانهم ضمن مديات معينة داخل مجتمع واسع. 3. في ضبط الجودة الصناعية: يُستخدم للتأكد من أن مواصفات المنتجات المصنعة تقع ضمن الحدود المقبولة إحصائيًا وعدم تجاوز الحدود المسموح بها لتلافي التلف.

$z_1 = \frac{492 - 500}{4} = -2$ و$z_2 = \frac{508 - 500}{4} = 2$. $P = 2 \times 0.4772 = 0.9544$. العدد المتوقع $= 2000 \times 0.9544 \approx 1909$ عبوة.

$P(X > 72) = 0.0668$ فالمساحة بين المتوسط والقيمة $72$ تساوي $0.5 - 0.0668 = 0.4332$ ومن الجدول $z = 1.5$. إذن $\frac{72 - 60}{\sigma} = 1.5$ فـ$\sigma = \frac{12}{1.5} = 8$.

أعلى $10\%$: المساحة من المتوسط $= 0.5 - 0.10 = 0.40$ و$z \approx 1.28$ فـ$x = 70 + 1.28 \times 10 = 82.8$. أدنى $5\%$: المساحة $0.45$ و$z \approx -1.64$ فـ$x = 70 - 16.4 = 53.6$.

$z = \frac{1100 - 1000}{50} = 2$. $P(Z > 2) = 0.5 - 0.4772 = 0.0228$. العدد المتوقع $= 500 \times 0.0228 = 11.4 \approx 11$ مصباحًا.

المساحة من المتوسط إلى القيمة $= 0.5 - 0.20 = 0.30$ ويقابلها $z \approx 0.84$. $x = 60 + 0.84 \times 12 = 70.08$ أي نحو $70$ درجة.

$|X - 80| < 10$ تكافئ $70 < X < 90$. $z = \pm 2$ فالاحتمال $2 \times 0.4772 = 0.9544$. أي أن نحو $95.44\%$ من القيم تقع على بعد أقل من $10$ (انحرافين معياريين) من المتوسط.