ملخص دالة كثافة الاحتمال للمتغير العشوائي المتصل — ثالثة ثانوي

مقدمة

البند: 4-4 من الوحدة الرابعة (المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية)
الشعبة: أدبي فقط (بديل الرياضيات البحتة لهذه الشعبة)

عدد الأهداف في مباراة يمكن عدّه (0، 1، 2…)، لكن زمن وصول صديقك أو طول لاعب أو درجة الحرارة غدًا تأخذ قيمًا لا حصر لها داخل فترة. المتغير في الحالة الأولى متقطع، وفي الثانية متصل. وكيف نحسب الاحتمال إذا كانت القيم لا تُعد؟ نستخدم المساحة.

أهداف التعلم

أن تميز المتغير المتصل من المتقطع وتحدد مدى المتغير المتصل.
أن تتحقق من أن دالة ما هي دالة كثافة احتمال.
أن تحسب الاحتمال كمساحة تحت منحنى الدالة.
أن تجد ثابتًا مجهولًا في دالة كثافة الاحتمال.

شرح الدرس

أولًا: المتغير العشوائي المتصل

المتغير العشوائي المتصل (المستمر) هو متغير مداه فترة من الأعداد الحقيقية (مغلقة أو مفتوحة)، أي مجموعة غير قابلة للحصر. من أمثلته: درجة الحرارة المتوقعة خلال أحد الأيام، وطول أحد المرشحين لفريق كرة السلة، والوقت الذي يستغرقه المعلم في شرح درس. ومن المتقطعة: عدد أرغفة الخبز التي ينتجها مخبز خلال ساعة، وعدد الأهداف في مباراة.

مثال: نقطة $(x, y)$ تقع داخل دائرة معادلتها $x^2 + y^2 = 4$ أو عليها، و $X$ هو بعد النقطة عن مركز الدائرة (نقطة الأصل). بعد النقطة يتراوح من $0$ (المركز) إلى $2$ (نصف القطر)، فمدى $X$ هو الفترة $[0, 2]$ ، وأي عدد فيها قيمة ممكنة.

ثانيًا: دالة كثافة الاحتمال

لكل متغير عشوائي متصل $X$ توجد دالة $f(x)$ تسمى دالة كثافة الاحتمال نحسب بها الاحتمالات؛ فاحتمال وقوع $X$ بين قيمتين $a$ و $b$ هو مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور الأفقي وبين $x = a$ و $x = b$ . وتحقق الدالة شرطين:

$f(x) \ge 0$ لجميع قيم $x$ في مجال الدالة.
المساحة الكلية تحت منحنى الدالة وفوق المحور الأفقي تساوي $1$ .

منحنى دالة كثافة الاحتمال f(x)=x/8 والمساحة المظللة بين x=1 وx=3 تمثل الاحتمال

نتيجة مهمة: في المتغير المتصل $P(X = a) = 0$ لأي قيمة منفردة (فالمساحة عند نقطة واحدة صفر)، ولذلك:

P(a \le X \le b) = P(a < X < b) = P(a \le X < b) = P(a < X \le b)

ثالثًا: حساب المساحات

لدوال الكثافة الخطية في هذا الدرس تكون المساحة المطلوبة شكلًا هندسيًا مألوفًا:

الشكل	المساحة
مستطيل	الطول × العرض
مثلث	$\frac{1}{2}$ × طول القاعدة × الارتفاع
شبه منحرف	$\frac{1}{2}$ × (مجموع القاعدتين المتوازيتين) × الارتفاع

أمثلة وتطبيقات

مثال 1 (دالة ثابتة): $f(x) = \frac{1}{8}$ حيث $0 \le x \le 8$ وتساوي صفرًا فيما عدا ذلك. المساحة الكلية $= 8 \times \frac{1}{8} = 1$ (مستطيل) فهي دالة كثافة. و $P(2 < X < 5) = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ .

مثال 2 (مثلث): $f(x) = \frac{x}{8}$ حيث $0 \le x \le 4$ . الشرط الأول متحقق ( $f(x) \ge 0$ ). المساحة الكلية: مثلث قاعدته $4$ وارتفاعه $f(4) = \frac{1}{2}$ فمساحته $\frac{1}{2} \times 4 \times \frac{1}{2} = 1$ ✓. ثم:

P(1 < X < 3) = \frac{1}{2}\left(f(1) + f(3)\right)\times 2 = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1}{2}

(شبه منحرف قاعدتاه $\frac{1}{8}$ و $\frac{3}{8}$ وارتفاعه $2$ ).

مثال 3 (إيجاد ثابت): $f(x) = \frac{x + k}{20}$ حيث $0 \le x \le 4$ وتساوي صفرًا فيما عدا ذلك. أوجد $k$ ثم $P(1 < X < 3)$ و $P(X > 3)$ .

المساحة الكلية شبه منحرف قاعدتاه $f(0) = \frac{k}{20}$ و $f(4) = \frac{4 + k}{20}$ وارتفاعه $4$ :

\frac{1}{2}\left(\frac{k}{20} + \frac{4 + k}{20}\right)\times 4 = \frac{4k + 8}{20} = 1 \;\Rightarrow\; k = 3

إذن $f(x) = \frac{x + 3}{20}$ ، و $f(1) = \frac{4}{20}$ و $f(3) = \frac{6}{20}$ و $f(4) = \frac{7}{20}$ :

P(1 < X < 3) = \frac{1}{2}\left(\frac{4}{20} + \frac{6}{20}\right)\times 2 = \frac{10}{20} = \frac{1}{2},\qquad P(X > 3) = \frac{1}{2}\left(\frac{6}{20} + \frac{7}{20}\right)\times 1 = \frac{13}{40}

مثال 4: $X$ متغير مداه $[0, 6]$ ومنتظم الكثافة (دالته ثابتة). أوجد احتمال أن يزيد $X$ على 4. الدالة $f(x) = \frac{1}{6}$ فالمطلوب $(6 - 4) \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ .

ملاحظات مهمة

في المتغير المتصل لا نسأل عن احتمال قيمة واحدة (فهو صفر) بل عن احتمال فترة.
الاحتمال هو مساحة وليس ارتفاع المنحنى؛ وقد يزيد ارتفاع الدالة على $1$ دون خطأ ما دامت المساحة الكلية $1$ .
الحدود $<$ و $\le$ لا تفرق في المتصل، بخلاف المتقطع.
ارسم الدالة وظلّل المنطقة قبل الحساب لتحدد الشكل الهندسي الصحيح.
تأكد من أن الدالة غير سالبة في المدى كله، ثم استخدم المساحة الكلية $= 1$ لإيجاد الثابت.

المفاهيم الأساسية

المتغير المتصل: مداه فترة من الأعداد الحقيقية.
دالة كثافة الاحتمال: دالة غير سالبة مساحتها الكلية 1، ومنها تُحسب الاحتمالات.
الاحتمال كمساحة: $P(a < X < b)$ هي المساحة تحت المنحنى بين $a$ و $b$ .
$P(X = a) = 0$ : احتمال أي قيمة منفردة في المتغير المتصل.

ملخص الدرس

المتغير العشوائي المتصل يأخذ كل قيم فترة من الأعداد، وتُحسب احتمالاته بدالة كثافة احتمال $f(x) \ge 0$ مساحتها الكلية $1$ ، وتساوي $P(a < X < b)$ مساحة المنطقة تحت المنحنى بين $a$ و $b$ . وعند أي قيمة منفردة يكون الاحتمال صفرًا، ولذلك لا تفرق حدود الفترة المغلقة والمفتوحة.

أسئلة للتدريب

صنّف كلًّا مما يأتي متقطعًا أو متصلًا: وزن طفل حديث الولادة، عدد الأخطاء في صفحة، زمن سباق الجري.
تحقق من أن $f(x) = \frac{1}{4}$ حيث $2 \le x \le 6$ دالة كثافة احتمال، ثم أوجد $P(3 < X < 5)$ .
إذا كان $f(x) = kx$ حيث $0 \le x \le 2$ فأوجد $k$ ثم $P(X < 1)$ .
لماذا يكون $P(X = 3) = 0$ في متغير متصل؟
إذا كان $f(x) = \frac{x + k}{14}$ حيث $0 \le x \le 4$ فأوجد $k$ .
ما الفرق بين $P(a < X < b)$ و $P(a \le X \le b)$ في المتغير المتصل؟ وفي المتقطع؟