ملخص التقدير الإحصائي وفترات الثقة — ثالثة ثانوي

مقدمة

البند: 3-5 من الوحدة الخامسة (الأخير في الكتاب)
الشعبة: أدبي فقط (بديل الرياضيات البحتة لهذه الشعبة)

لا يمكن أن تسأل كل مواطن عن متوسط ساعات نومه، ولا أن تقيس كل منتج في المصنع. فنأخذ عينة ونستنتج منها شيئًا عن المجتمع كله. لكن العينة تختلف من مرة لأخرى، فكيف نعبّر عن النتيجة بصدق؟ نقول مثلًا: «متوسط النوم الحقيقي يقع على الأرجح بين $7.0$ و $7.4$ ساعة». هذه هي فترة الثقة، وهي ثمرة ما درسته عن التوزيع الطبيعي.

أهداف التعلم

أن تفرّق بين المعلمة والإحصاء، وبين التقدير بنقطة والتقدير بفترة.
أن تفسّر معنى مستوى الثقة وتحدد القيمة الحرجة المناظرة له.
أن تحسب الخطأ في التقدير وفترة الثقة لمتوسط المجتمع.
أن تفسّر فترة الثقة تفسيرًا صحيحًا.

شرح الدرس

أولًا: معنى التقدير

المعلمة (البارامتر): قيمة عددية ثابتة تصف المجتمع، وغالبًا تكون مجهولة، مثل متوسط المجتمع $\mu$ .
الإحصاء: قيمة تحسب من العينة، مثل متوسط العينة $\bar{x}$ ، وتُستخدم لتقدير المعلمة.
التقدير هو استنتاج قيمة المعلمة اعتمادًا على العينة، وله أسلوبان:

الأسلوب	المعنى	مثال
التقدير بنقطة	قيمة واحدة تُحسب من العينة	نقدّر $\mu$ بـ $\bar{x} = 76.5$
التقدير بفترة	فترة يُتوقع أن تقع بداخلها المعلمة بنسبة معينة	$\mu$ تقع بين $73$ و $80$

التقدير بنقطة سهل لكنه لا يخبرك بمدى دقته، أما الفترة فتعبّر عن درجة اليقين.

ثانيًا: مستوى الثقة والقيمة الحرجة

مستوى الثقة هو احتمال أن تحوي الفترة القيمة الحقيقية لمعلمة المجتمع، ويساوي $1 - \alpha$ حيث $\alpha$ هي نسبة الخطأ المسموح بها.

إذا كانت $\alpha = 0.05$ فمستوى الثقة $= 0.95 = 95\%$ .
إذا كانت $\alpha = 0.01$ فمستوى الثقة $= 0.99 = 99\%$ .

القيمة الحرجة $z_{\alpha/2}$ هي القيمة المعيارية التي تترك مساحة $\frac{\alpha}{2}$ في كل طرف من المنحنى المعياري، أي تحصر بين $-z_{\alpha/2}$ و $z_{\alpha/2}$ مساحة قدرها $1 - \alpha$ . نجد قيمتها بحساب المساحة بين الصفر والقيمة، وهي $\frac{1 - \alpha}{2}$ ، ثم البحث عنها في جسم جدول المنحنى المعياري.

منحنى طبيعي معياري يوضح مستوى الثقة 95% والقيمة الحرجة 1.96 وفترة الثقة وحديها

مثال 1 (إيجاد القيمة الحرجة لمستوى ثقة 95%):

$1 - \alpha = 0.95$ فالمساحة بين الصفر والقيمة الحرجة $= \frac{0.95}{2} = 0.475$ .
نجد في جسم الجدول المساحة $0.4750$ عند الصف $1.9$ والعمود $0.06$ ، فتكون $z_{\alpha/2} = 1.96$ .

وبالطريقة نفسها: لمستوى ثقة $99\%$ تكون المساحة $0.495$ وتقابلها القيمة $\approx 2.58$ (تقع بين $2.57$ و $2.58$ في الجدول).

مستوى الثقة	$\alpha$	المساحة من الصفر	القيمة الحرجة
$95\%$	$0.05$	$0.475$	$1.96$
$99\%$	$0.01$	$0.495$	$\approx 2.58$

ثالثًا: الخطأ في التقدير وفترة الثقة لمتوسط المجتمع

عند أخذ عينة عشوائية حجمها $n$ من مجتمع يتبع التوزيع الطبيعي بانحراف معياري $\sigma$ ، فإن الخطأ في التقدير عند مستوى ثقة $1 - \alpha$ هو:

E = z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

وفترة الثقة لمتوسط المجتمع $\mu$ هي:

\left[\, \bar{x} - E \;,\; \bar{x} + E \,\right]

حيث $\bar{x}$ متوسط العينة، والحدّان $\bar{x} - E$ و $\bar{x} + E$ هما الحد الأدنى والحد الأعلى للفترة. ويسمى $E$ في بعض المراجع هامش الخطأ، وتسمى القيمة $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ الخطأ المعياري للمتوسط.

ملاحظتان (كما في الكتاب):

عند مستوى ثقة $95\%$ نستخدم القيمة الحرجة $1.96$ .
إذا كان $\sigma$ مجهولًا وكان حجم العينة أكبر من $30$ فيمكن استخدام الانحراف المعياري للعينة $s$ بدلًا منه.

خطوات إيجاد فترة الثقة لـ $\mu$

أوجد القيمة الحرجة $z_{\alpha/2}$ من مستوى الثقة.
احسب الخطأ $E = z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .
اكتب الفترة $[\bar{x} - E,\ \bar{x} + E]$ ثم فسّرها.

أمثلة وتطبيقات

مثال 2: أُخذت عينة من $64$ طالبًا لدراسة زمن المذاكرة اليومي، فكان متوسطها $80$ دقيقة، والانحراف المعياري للمجتمع $12$ دقيقة. أوجد فترة ثقة $95\%$ لمتوسط زمن المذاكرة في المجتمع.

$z_{\alpha/2} = 1.96$ و $n = 64$ فـ $\sqrt{n} = 8$ .
$E = 1.96 \times \frac{12}{8} = 1.96 \times 1.5 = 2.94$ .
الفترة: $[80 - 2.94,\ 80 + 2.94] = [77.06,\ 82.94]$ .

التفسير: لو أخذنا $100$ عينة عشوائية بالحجم نفسه وحسبنا فترة ثقة لكل منها فإننا نتوقع أن نحو $95$ فترة منها تحوي المتوسط الحقيقي $\mu$ .

مثال 3 (من التباين): عينة حجمها $49$ وسطها الحسابي $60$ وتباينها $144$ . أوجد فترة ثقة $95\%$ .

$\sigma = \sqrt{144} = 12$ (التباين يجب أن يُجذر أولًا).
$E = 1.96 \times \frac{12}{\sqrt{49}} = 1.96 \times \frac{12}{7} = 3.36$ .
الفترة: $[60 - 3.36,\ 60 + 3.36] = [56.64,\ 63.36]$ .

مثال 4 (مستوى ثقة 99%): عينة من $100$ ورقة نباتية، وسطها $40$ ملم وانحرافها المعياري $5$ ملم. أوجد فترة ثقة $99\%$ .

$E = 2.58 \times \frac{5}{10} = 1.29$ .
الفترة: $[38.71,\ 41.29]$ .

لاحظ أنها أعرض من فترة $95\%$ لو حسبناها ( $E = 1.96 \times 0.5 = 0.98$ )؛ فالثقة الأعلى تحتاج فترة أوسع.

مثال 5 (من الفترة إلى الوسط والخطأ): إذا كانت فترة ثقة لمتوسط هي $[9.3,\ 10.7]$ فإن:

$\bar{x} = \frac{9.3 + 10.7}{2} = 10$ (منتصف الفترة).
$E = \frac{10.7 - 9.3}{2} = 0.7$ (نصف عرض الفترة).

مثال 6 (إيجاد حجم العينة): كم تكون العينة اللازمة لتقدير متوسط انحرافه المعياري $10$ بخطأ لا يزيد على $2$ بمستوى ثقة $95\%$ ؟

E = 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \;\Rightarrow\; \sqrt{n} = \frac{1.96 \times 10}{2} = 9.8 \;\Rightarrow\; n = 9.8^2 = 96.04

نقرّب إلى الأعلى فيكون $n = 97$ (لأن $96$ لا تحقق الشرط).

ملاحظات مهمة

القيمة الحرجة تبقى ثابتة لمستوى الثقة ( $1.96$ لـ $95\%$ ) مهما تغيّرت العينة.
التباين غير الانحراف المعياري: إذا أُعطيت $\sigma^2$ فجذّرها قبل التعويض.
عند زيادة حجم العينة يقل الخطأ لأن $\sqrt{n}$ في المقام، فتصبح الفترة أضيق وأدق.
عند زيادة مستوى الثقة تكبر القيمة الحرجة فتزداد الفترة اتساعًا.
لا نقول «احتمال أن $\mu$ تقع في هذه الفترة المحسوبة $95\%$ » بمعنى أن $\mu$ تتحرك؛ $\mu$ ثابتة، والمتغير هو الفترة من عينة لأخرى. التفسير الصحيح هو أن $95\%$ من الفترات المحسوبة بهذه الطريقة تحوي $\mu$ .
في الاختيار من متعدد: إذا أعطتك المسألة حدّي الفترة فالوسط هو منتصفهما والخطأ هو نصف الفرق بينهما.

المفاهيم الأساسية

المعلمة: قيمة ثابتة مجهولة تصف المجتمع، مثل $\mu$ .
الإحصاء: قيمة تُحسب من العينة، مثل $\bar{x}$ .
التقدير بنقطة: قيمة واحدة تقدّر المعلمة.
التقدير بفترة: فترة يُتوقع أن تحوي المعلمة بنسبة معلومة.
مستوى الثقة: $1 - \alpha$ ، مثل $95\%$ أو $99\%$ .
القيمة الحرجة: $z_{\alpha/2}$ ، وتساوي $1.96$ عند $95\%$ .
الخطأ في التقدير: $E = z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .
فترة الثقة: $[\bar{x} - E,\ \bar{x} + E]$ .

ملخص الدرس

نقدّر معلمة المجتمع (كالمتوسط $\mu$ ) بإحصاء من عينة، إما بنقطة أو بفترة. مستوى الثقة $1 - \alpha$ هو احتمال أن تحوي الفترة المعلمة، وتقابله القيمة الحرجة $z_{\alpha/2}$ ( $1.96$ لـ $95\%$ ). الخطأ في التقدير $E = z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ وفترة الثقة $[\bar{x} - E,\ \bar{x} + E]$ . تتسع الفترة بزيادة مستوى الثقة أو $\sigma$ وتضيق بزيادة $n$ ، وتُفسَّر بأن نحو $95\%$ من فترات العينات المتكررة تحوي $\mu$ .

أسئلة للتدريب

عيّنة من $36$ موظفًا متوسط راتبها $4000$ جنيه والانحراف المعياري للمجتمع $300$ جنيه. أوجد فترة ثقة $95\%$ لمتوسط الراتب.
عيّنة حجمها $100$ متوسطها $25$ وتباينها $16$ . أوجد الخطأ في التقدير وفترة الثقة $95\%$ .
إذا كانت فترة الثقة $[48.04,\ 51.96]$ فأوجد الوسط الحسابي والخطأ في التقدير.
اشرح بكلماتك تفسير فترة الثقة $95\%$ .
إذا كان $\sigma = 20$ فما حجم العينة اللازم لخطأ لا يزيد على $4$ بثقة $95\%$ ؟
ماذا يحدث لعرض فترة الثقة عند مضاعفة حجم العينة أربع مرات؟ ولماذا؟