ملخص الاحتمال الشرطي — ثالثة ثانوي

مقدمة

البند: 2-3 من الوحدة الثالثة (الاحتمال)
الشعبة: أدبي فقط (بديل الرياضيات البحتة لهذه الشعبة)

احتمال أن يكون عدد النقاط الظاهر على حجر النرد أقل من 4 هو $\frac{1}{2}$ . لكن لو علمت أن العدد الظاهر زوجي، فهل يبقى الاحتمال نفسه؟ المعلومة الإضافية تغيّر فضاء العينة وتغيّر الاحتمال. هذا هو الاحتمال الشرطي: احتمال وقوع حدث بشرط أن حدثًا آخر قد وقع.

أهداف التعلم

أن تميز بين الأحداث المتنافية وغير المتنافية وتطبق قانون كل منهما.
أن تحسب الاحتمال الشرطي $P(A \mid B)$ بالقانون وبتقليص فضاء العينة.
أن تستخدم قاعدة الضرب والشجرة البيانية في السحب دون إرجاع.
أن تحل مسائل الاحتمال الشرطي بأشكال فن.

شرح الدرس

أولًا: مراجعة الأحداث المتنافية وغير المتنافية

متنافيان: لا يشتركان في أي عنصر $A \cap B = \varnothing$ ، ويكون $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .
غير متنافيين: بينهما عناصر مشتركة، ويكون:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

ومن ذلك أيضًا: $P(A') = 1 - P(A)$ و $P(A - B) = P(A) - P(A \cap B)$ .

ثانيًا: الاحتمال الشرطي

نفرض حدثين $A$ و $B$ في فضاء عينة واحد. احتمال وقوع $A$ بشرط وقوع $B$ يُرمز له $P(A \mid B)$ ويُقرأ «احتمال $A$ إذا علمنا أن $B$ وقع»:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)},\qquad P(B) > 0

فكرة القانون: لأن $B$ وقع فعلًا، يصبح فضاء العينة الجديد هو $B$ فقط، ونحسب نسبة النواتج المحققة لـ $A$ داخله وهي $A \cap B$ .

مثال تمهيدي: رُمي حجر نرد مرة. $A$ : «عدد أقل من 4» $= \{1,2,3\}$ و $B$ : «عدد زوجي» $= \{2,4,6\}$ . بدون شرط $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ . أما إذا علمنا أن العدد زوجي ( $B$ وقع) فالنواتج الممكنة ثلاثة فقط $\{2,4,6\}$ وما يحقق $A$ منها هو $\{2\}$ ، فيكون $P(A \mid B) = \frac{1}{3}$ . وبالقانون: $\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$ ✓.

خواص الاحتمال الشرطي (كالاحتمال العادي):

$0 \le P(A \mid B) \le 1$ .
$P(S \mid B) = 1$ .
إذا كان $A_1$ و $A_2$ متنافيين فإن $P\left((A_1 \cup A_2) \mid B\right) = P(A_1 \mid B) + P(A_2 \mid B)$ .
$P(A' \mid B) = 1 - P(A \mid B)$ .

تنبيه: عمومًا $P(A \mid B) \neq P(B \mid A)$ .

ثالثًا: قاعدة الضرب

من قانون الاحتمال الشرطي نحصل على:

P(A \cap B) = P(A \mid B) \times P(B) = P(B \mid A) \times P(A)

(بشرط $P(A) > 0$ و $P(B) > 0$ )، وهي أساس حساب احتمال وقوع حدثين معًا إذا كان وقوع أحدهما يتأثر بالآخر.

رابعًا: الشجرة البيانية للسحب دون إرجاع

عند سحب كرتين على التوالي دون إرجاع، يتغير عدد الكرات في السحبة الثانية، فيتأثر احتمالها بنتيجة الأولى (احتمال شرطي).

مثال: كيس فيه 5 كرات بيضاء و3 سوداء، سُحبت كرتان على التوالي دون إرجاع. ما احتمال أن تكونا بيضاوين؟

شجرة احتمالات لسحب كرتين دون إرجاع من كيس فيه 5 بيضاء و3 سوداء

نفرض $A$ : الأولى بيضاء، و $B$ : الثانية بيضاء. $P(A) = \frac{5}{8}$ وبعد سحب بيضاء يبقى 4 بيضاء من 7 فـ $P(B \mid A) = \frac{4}{7}$ :

P(A \cap B) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}

وعلى طول كل مسار نضرب الاحتمالات؛ ومجموع احتمالات النواتج الأربعة $= \frac{20 + 15 + 15 + 6}{56} = 1$ ✓.

أمثلة وتطبيقات

مثال 1: رُمي حجر نرد مرتين. إذا علمت أن العدد الظاهر في الرمية الأولى هو 6، فما احتمال أن يكون المجموع 10 أو أكثر؟

$B$ : الأولى 6 ( $n(B) = 6$ ) و $A$ : المجموع $\ge 10$ . $A \cap B = \{(6,4), (6,5), (6,6)\}$ فـ $P(A \cap B) = \frac{3}{36}$ و $P(B) = \frac{6}{36}$ :

P(A \mid B) = \frac{3/36}{6/36} = \frac{1}{2}

مثال 2 (بيانات الدراسة): في مدرسة 80 طالبًا: 50 يدرسون الإنجليزية ( $E$ ) و40 يدرسون الفرنسية ( $F$ ) و25 يدرسون اللغتين. نختار طالبًا عشوائيًا. من شكل فن: الإنجليزية فقط $25$ ، واللغتان $25$ ، والفرنسية فقط $15$ ، ولا لغة $15$ .

$P(E) = \frac{50}{80} = 0.625$ و $P(F) = 0.5$ و $P(E \cap F) = \frac{25}{80} = 0.3125$ .
$P(E \cup F) = 0.625 + 0.5 - 0.3125 = 0.8125$ (أي $\frac{65}{80}$ ).
$P(E \mid F) = \frac{25/80}{40/80} = 0.625$ (احتمال أن يدرس الإنجليزية إذا علمنا أنه يدرس الفرنسية).
$P(F \mid E) = \frac{25}{50} = 0.5$ .

لاحظ أن $P(E \mid F) \neq P(F \mid E)$ .

مثال 3: إذا كان $P(A) = 0.45$ و $P(B \mid A) = 0.8$ فإن $P(A \cap B) = 0.8 \times 0.45 = 0.36$ .

ملاحظات مهمة

الشرط هو الحدث الذي بعد كلمة «علمًا بأن» أو «إذا»، ويكون هو المقام في القانون.
$P(A \mid B)$ ليست $P(B \mid A)$ ؛ فاحذر عكس الشرط.
في السحب دون إرجاع يتغير عدد الكرات؛ وفي السحب مع الإرجاع لا يتغير.
يجب أن يكون $P(B) > 0$ ، وإلا فلا معنى للاحتمال الشرطي.
استخدم شكل فن أو الشجرة لتجنب الخطأ في تحديد $A \cap B$ .

المفاهيم الأساسية

الاحتمال الشرطي: احتمال $A$ بعد معرفة وقوع $B$ ، ويساوي $\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .
قاعدة الضرب: $P(A \cap B) = P(A \mid B) \cdot P(B)$ .
الشجرة البيانية: مخطط يبين النواتج المتتالية واحتمالات الفروع.
السحب دون إرجاع: سحب لا نعيد فيه العنصر فيتغير الفضاء.

ملخص الدرس

للأحداث غير المتنافية $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ . والاحتمال الشرطي لـ $A$ بشرط $B$ هو $\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ، وهو يختزل فضاء العينة إلى $B$ ، وله خواص الاحتمال العادي، وتنتج منه قاعدة الضرب $P(A \cap B) = P(A \mid B) P(B)$ . وفي السحب دون إرجاع نستخدم الشجرة البيانية ونضرب احتمالات الفروع على المسار.

أسئلة للتدريب

حجر نرد رُمي مرة: ما احتمال أن يكون العدد 5 علمًا بأنه فردي؟
إذا كان $P(A \cap B) = 0.3$ و $P(B) = 0.6$ فما $P(A \mid B)$ ؟
كيس فيه 4 كرات حمراء و6 زرقاء، سُحبت كرتان دون إرجاع. ما احتمال أن تكونا حمراوين؟
إذا كان $P(A) = 0.5$ و $P(B \mid A) = 0.6$ فأوجد $P(A \cap B)$ .
رُمي حجر نرد مرتين: ما احتمال أن يكون المجموع 8 علمًا بأن الرمية الأولى 3؟
اشرح لماذا يختلف $P(A \mid B)$ عن $P(B \mid A)$ بمثال.