أهداف التعلم

• أن تعرّف الرباعيات الثلاثة وتفسر دلالة كل منها.
• أن تعيّن الرباعيات للبيانات المفردة (عدد فردي أو زوجي) ولمخطط الساق والأوراق.
• أن تعيّن الرباعيات من جدول تكراري جبريًا وبيانيًا.
• أن ترسم التمثيل الصندوقي وتقرأه.

شرح الدرس

أولًا: معنى الرباعيات

بعد ترتيب البيانات تصاعديًا تقسّمها ثلاث قيم إلى أربعة أقسام متساوية في العدد تسمى الرباعيات:

ثانيًا: الرباعيات للبيانات المفردة

بعد الترتيب التصاعدي، إذا كان عدد القيم $n$ فإن رتب الرباعيات هي:

• إذا كانت الرتبة عددًا صحيحًا فالرباعي هو القيمة الموجودة في هذه الرتبة مباشرة.
• إذا كانت الرتبة كسرية نستعمل الاستيفاء بين القيمتين المجاورتين:

مثال 1 (رتب صحيحة): درجات 15 طالبًا بعد ترتيبها: 38، 38، 41، 45، 45، 47، 49، 52، 52، 52، 55، 57، 61، 64، 70. هنا $n = 15$ فرتبة $Q_1 = \frac{16}{4} = 4$ ورتبة $Q_2 = 8$ ورتبة $Q_3 = 12$:

مثال 2 (رتب كسرية): أوجد الرباعيات للقيم: 7، 9، 12، 14، 15، 18، 20، 21، 25، 27، 30، 34. هنا $n = 12$ فالرتب: $\frac{13}{4} = 3.25$ و$\frac{26}{4} = 6.5$ و$\frac{39}{4} = 9.75$.

• $Q_1$ بين القيمة الثالثة ($12$) والرابعة ($14$): $12 + (14 - 12)\times 0.25 = 12.5$
• $Q_2$ بين السادسة ($18$) والسابعة ($20$): $18 + (20 - 18)\times 0.5 = 19$
• $Q_3$ بين التاسعة ($25$) والعاشرة ($27$): $25 + (27 - 25)\times 0.75 = 26.5$

ثالثًا: الرباعيات من الساق والأوراق

القيم في المخطط مرتبة أصلًا، فنعدّ الأوراق من الأول بحسب الرتب نفسها (كما في المثال 1، حيث الورقة الرابعة هي $Q_1$).

رابعًا: الرباعيات من الجدول التكراري

نكوّن الجدول التكراري المتجمع الصاعد ثم نحدد الفئة التي تقع فيها رتبة الرباعي، حيث تكون الرتب هنا $\frac{n}{4}$ و$\frac{2n}{4}$ و$\frac{3n}{4}$، ونحسب:

حيث $L$ بداية فئة الرباعي، و$F$ التكرار المتجمع السابق لفئتها، و$f$ تكرار فئتها، و$h$ طول الفئة.

مثال 3: عدد الكتب التي قرأها 40 طالبًا في عام دراسي:

طول الفئة $h = 5$. الرتب: $\frac{40}{4} = 10$ و$20$ و$30$.

• $Q_1$: الرتبة $10$ تقع في الفئة $5–10$ (فقبلها تكرار متجمع $4$ وتكرارها $8$): $Q_1 = 5 + \frac{10 - 4}{8}\times 5 = 8.75$
• $Q_2$: الرتبة $20$ في الفئة $10–15$ ($F = 12$ و$f = 12$): $Q_2 = 10 + \frac{20 - 12}{12}\times 5 \approx 13.33$
• $Q_3$: الرتبة $30$ في الفئة $15–20$ ($F = 24$ و$f = 10$): $Q_3 = 15 + \frac{30 - 24}{10}\times 5 = 18$

بيانيًا: نرسم المنحنى التكراري المتجمع الصاعد، ونعيّن على المحور الرأسي الرتب $\frac{n}{4}$ و$\frac{2n}{4}$ و$\frac{3n}{4}$، ونرسم من كل رتبة خطًا أفقيًا يقطع المنحنى، ثم نسقط من نقطة التقاطع عمودًا على المحور الأفقي فنقرأ قيمة الرباعي.

خامسًا: التمثيل الصندوقي

يحتاج رسم الصندوق إلى خمس قيم: أصغر قيمة، $Q_1$، $Q_2$، $Q_3$، أكبر قيمة. نرسم مستطيلًا (صندوقًا) من $Q_1$ إلى $Q_3$ وخطًا رأسيًا عند الوسيط، ثم نصل الصندوق بأصغر قيمة وبأكبر قيمة بخطين أفقيين (الطرفين). وللمثال 2: أصغر قيمة $7$ و$Q_1 = 12.5$ و$Q_2 = 19$ و$Q_3 = 26.5$ وأكبر قيمة $34$.

قراءة الصندوق: يحتوي الصندوق على نحو 50% من البيانات، وطوله $Q_3 - Q_1$ يدل على تشتت النصف الأوسط؛ فإذا كان الوسيط أقرب إلى أحد طرفي الصندوق فالتوزيع غير متماثل.

أسئلة للتدريب

1. أوجد الرباعيات للقيم: 3، 5، 6، 8، 9، 11، 12، 15، 16 (تسع قيم).
2. أوجد $Q_1$ و$Q_2$ و$Q_3$ للقيم: 4، 6، 7، 9، 10، 12، 13، 16 (ثماني قيم).
3. مثّل القيم الخمس لبيانات السؤال الأول بالتمثيل الصندوقي.
4. جدول تكراري فئاته $0–10$ و$10–20$ و$20–30$ و$30–40$ وتكراراتها $5$ و$10$ و$15$ و$10$: أوجد الوسيط.
5. ماذا تعني النسبة 50% عند الحديث عن الصندوق في التمثيل الصندوقي؟
6. لماذا تختلف رتبة الرباعي في الجدول التكراري عنها في البيانات المفردة؟